§ III.2.3. Электрическое смещение. Теорема Остроградского-Гаусса

1°. Напряженность электрического поля (III.2.1.2°) зависит от свойств среды. В однородной изотропной среде напряженностьЕобратно пропорциональнаε(III.1.2.5°). Для характеристики электрического поля наряду с напряженностьюЕвводится векторDэлектрического смещенияилиэлектрической индукции. Для поля в электрически изотропной среде связь междуDиЕимеет вид:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

Общее определение D, справедливое для неизотропных сред, см. III.5.3.4°.

Пример.Для поля точечного электрического зарядаq(III.1.2.3)

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

Проекция D на направление радиуса-вектора r, проведенного от точечного заряда в данную точку поля,

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

2º.Элементарным потоком смещения dΦ_eсквозь участок поверхности, имеющий площадьdS, называется скалярная физическая величина, определяемая равенством

,

гдеD– вектор смещения (п. 1°),n– единичный вектор, нормальный к площадкеdS,dS=dSn–вектор площадкиdS,D_n=Dcosα– проекция вектораDна направление вектораn,dS_=dScosα– площадь проекции элементарной поверхностиdSна плоскость, перпендикулярную векторуD(рис. III.2.3).

Если электрическое поле создается точечным зарядом q, то поток смещенияdΦ_eсквозь элемент площадкиdSзамкнутой поверхностиS, охватывающей этот заряд, равен:

,

где dω– телесный угол, под которым площадкаdSповерхностиSвидна из точки, в которой находится зарядq(рис. III.2.3).

Полный поток смещения Φ_eсквозь поверхностьSопределяется суммированием или интегрированием всех элементарных потоков:

.

При этом все векторы nнормалей к площадкамdSнаправляются в одну и ту же сторону относительно поверхностиS. Например, для замкнутой поверхностиS(рис. III.2.3) все векторыnнормалей должны быть либо внешними, либо внутренними^*).

3°.Теорема Остроградского-Гаусса: поток смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен или пропорционален алгебраической сумме электрических зарядовq₁,q₂,q₃, ...,q_k, охватываемых этой поверхностью:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

Поток смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность, не охватывающую зарядов, равен нулю.

Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса является одним из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (III.14.4.2).

4°. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраический сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью:

(в СИ, гдеε₀—электрическая постоянная (III.1.2.7º)),

(в системе СГСЭ).

О теореме Остроградского-Гаусса для поля в диэлектрике см. III.5.3.3º.

5°. Наряду с принципом суперпозиции полей (III.2.2.1°) теорема Остроградского-Гаусса применяется для вычисления векторовDразличных электрических полей. При этом необходимо так выбрать замкнутую поверхность, чтобы в выражении потока смещения можно было вынестиDза знак поверхностного интеграла. Для полей, созданных простейшими симметрично расположенными зарядами (заряженные линия, плоскость, сфера и т. д.), это можно сделать.