Глава III.3.Потенциал электростатического поля § III.3.1. Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда в электростатическом поле

1º. Работа, которая совершается при перемещении электрического зарядаq'в электростатическом поле с напряженностьюЕ(III.2.1.2°), не зависит от формы пути, по которому происходит перемещение, а зависит только от начального и конечного положения заряда. Иначе говоря, электростатические силы, подобно гравитационным, являются потенциальными силами (I.3.1.6°). Работа δA, совершаемая электростатическим полем, действие которого на зарядq'описывается силойF=q'E, при перемещении заряда на отрезокdl, равна:

,

где – угол между направлениями векторовЕиdl.

При конечном перемещении заряда q' из точкиав точкуbработа равна:

,

где Еdl– скалярное произведение векторовЕиdl.

2°. Если поле создано точечным зарядомq, то

,,

и работа, совершаемая при перемещении заряда q'из точкиaв точкуbв этом поле, равна:

,

где r₁иr₂– расстояния от точекaиbдо зарядаq(рис. III.3.1).

Для одноименных зарядовqиq'работаАэлектрических сил отталкивания положительна, если заряды удаляются друг от друга, и отрицательна, если они сближаются. Работа электрических сил притяжения разноименных зарядовqиq'положительна при сближении зарядов и отрицательна при их удалении друг от друга.

3º. При перемещении электрического зарядаq'в поле, созданном системой точечных зарядовq₁,q₂,q₃, ...,q_n, действие электрического поля на зарядq'выражается силой

и работа Аравнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил

,

где r_i1иr_i2– расстояния от зарядаq_iдо начального и конечного положений зарядаq'. Каждая из работA_iи полная работаАзависят от начального и конечного положений зарядаq'и не зависят от формы пути, им совершаемого.

4°.Циркуляцией напряженностивдоль замкнутого контураLназывается линейный интеграл

.

Этот интеграл численно равен работе, совершаемой электростатическим полем при перемещении единичного положительного электрического заряда по замкнутому пути. Так как для замкнутого пути r_i1=r_i2, то согласно п. 3º имеем:, т. е. работа, о которой идет речь, равна нулю.

Силовое поле, напряженность Екоторого удовлетворяет подобному условию, называется потенциальным полем. Электростатическое поле является потенциальным.

Дифференциальная форма условия потенциальности электростатического поля является одним из уравнений Максвелла для электростатического поля (III.14.2.1°).

§ III.3.2. Потенциал электростатического поля

1º. Работа δA(III.3.1.1) равна убылиdW_ппотенциальной энергии (I.3.3.1°) зарядаq', перемещающегося в электростатическом поле,

и

,

где W_1пиW_2п– значения потенциальной энергии зарядаq'в точках поляаиb(рис. III.3.1).

2°. Если точечный зарядq'перемещается под действием поля точечного зарядаq, то изменениеdW_пего потенциальной энергии при бесконечно малом перемещении:

.

При конечном перемещении заряда q'из точкиав точкуb(рис. III.3.1) изменение ΔW_ппотенциальной энергии заряда будет равно:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

3°. При перемещении зарядаq'в поле, созданном системойnточечных зарядов (q₁,q₂, ...,q_n), изменение потенциальной энергии зарядаq''

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

где r_i1иr_i2– расстояния между зарядамиq_iиq'до и после перемещения последнего.

4°. Для нахождения абсолютного значения потенциальной энергии, которую имеет электрический заряд в данной точке электростатического поля, необходимо выбрать начало отсчета потенциальной энергии (I.1.3.1°). Интегрирование уравнения п. 2° в общем случае дает:

,

где С– произвольная постоянная. Если считать, чтоW_п= 0 приr→ ∞, тоС= 0 и потенциальная энергия зарядаq', находящегося в поле зарядаqна расстоянииrот него, равна

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

При одноименных зарядах qиq'потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна и возрастает (убывает) при сближении (отдалении) зарядов. В случае взаимного притяжения разноименных зарядовW_п< 0 и возрастает до нуля при удалении одного из зарядов в бесконечность. На рис. III.3.2 показана зависимость потенциальной энергии двух точечных зарядов от расстояния между ними.

5°. Потенциальная энергияW_пзарядаq', который находится в поле системы точечных зарядовq₁,q₂, ...,q_n, равна сумме его потенциальных энергий в полях, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

(в СИ),

где r_i– расстояние между зарядамиq_iиq.

6°.Потенциалом электростатического поля называется энергетическая характеристика этого поля, представляющая собой отношение потенциальной энергииW_пзарядаq'к величине заряда

(в СИ).

Это отношение не зависит от величины заряда q'и численно равно потенциальной энергии единичного пробного заряда (III.2.1.2°), помещенного в рассматриваемую точку поля.

Примеры:

1) Потенциал электростатического поля, создаваемого одним точечным зарядом qв однородном и изотропном диэлектрике,

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

2) Потенциал поля, создаваемого заряженным проводником (III.3.4.4º) в однородном и изотропном диэлектрике,

(в СИ),

(в системе СГСЭ),

где σ– поверхностная плотность заряда проводника (III.2.2.3°).

3) Потенциал уединенного проводящего шара радиуса R, имеющего зарядq,

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

7º. РаботаА, совершаемая электростатическим полем при перемещении зарядаq'из точкиaв точкуb, равна

,

где W_1п иW_2п– значения потенциальной энергии зарядаq',φ₁иφ₂– потенциалы поля, соответственно в точкахaиb, а Δφ=φ₁–φ₂–разность потенциалов. Если точкаbнаходится в бесконечности, тоW_2п= 0 иφ₂= 0. Тогда работаA_∞перемещения зарядаq'из точкиaв бесконечность равна

.

Ввиду произвольности точки aиндекс 1 может быть отброшен и

.

Потенциал данной точки электростатического поля численно равен работе, совершаемой электростатическим полем при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Эта работа также численно равна работе, совершаемой внешними объектами против электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

8°. При изучении электростатических полей во всех задачах важно знать разность потенциалов между какими-либо точками поля, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с нулевым потенциалом определяется только удобством решения данной задачи. Часто бывает удобно считать равным нулю потенциал Земли.