§ III.2.2. Принцип суперпозиции электрических полей

1°. Основная задача электростатики формулируется следующим образом: по заданным распределению в пространстве и величине источников поля – электрических зарядов – найти величину и направление вектора напряженностиЕв каждой точке поля.

2°. Если поле создается системой неподвижных зарядовq₁,q₂,q₃, ...,q_n, то результирующая силаF, с которой электрическое поле действует на пробный зарядq₀(III.2.1.2°) в любой точке рассматриваемого поля, равна векторной сумме силF_i, приложенных к зарядуq₀со стороны каждого из зарядовq_i:

.

Согласно III.2.1.3° F=q₀EиF_i =q₀E_i, гдеЕ– напряженность результирующего поля,E_i– напряженность поля, создаваемого зарядомq_i. Из предыдущих формул следуетпринцип независимости действия электрических полейилипринцип суперпозиции полей:

.

Напряженность электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Напряженность результирующего поля находится наложением (суперпозицией) напряженностей полей отдельных зарядов.

Для непрерывно распределенных в пространстве зарядов (п. 3°) принцип суперпозиции полей имеет вид:

,

где интегрирование производится по всем непрерывно распределенным источникам полей, создающим электрические поля с напряженностью dE.

Пример.Система неподвижных точечных зарядовq₁, q₂, ..., q_nсоздает электростатическое поле, напряженностьEкоторого равна

(в СИ),

(в системе СГСЭ),

где r_i– радиус-вектор, проведенный от точечного зарядаq_iв исследуемую точку поля. Любое заряженное тело с дискретно распределенным на нем зарядомQ(п. 3°) можно разбить на весьма малые части, каждая из которых имеет точечный заряд. Поэтому предыдущая формула имеет общее значение для расчета электростатических полей в однородной, изотропной среде, заполняющей все поле.

3°. Источники электростатических полей – электрические заряды – могут быть распределены в пространстве либодискретно(дискретное распределение зарядов), в отдельных точках пространства, либонепрерывно(непрерывное распределение зарядов). В последнем случае заряды распределены вдоль некоторой линии, на поверхности какого-либо тела, или в некотором объеме. Для непрерывно распределенных электрических зарядов вводится понятие о плотности зарядов. Если электрические заряды непрерывно распределены вдоль линии, то вводитсялинейная плотность зарядаτ:

,

где dq– заряд бесконечно малого участка линии длинойdl.

Если электрические заряды непрерывно распределены по некоторой поверхности, то вводится поверхностная плотностьσзаряда:

,

где dq– заряд, расположенный на бесконечно малом участке поверхности площадьюdS.

При непрерывном распределении зарядов в каком-либо объеме можно ввести объемную плотностьρзаряда:

,

где dq– заряд бесконечно малого элемента объемаdV.

4º.Пример.Электростатическое поле электрического диполя.Электрическим диполемназывается система двух равных по величине и противоположных по знаку электрических зарядов +qи –q(q> 0), расстояниеlмежду которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля.Плечом диполяназывается вектор1, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и численно равный расстояниюlмежду ними (рис. III.2.1). Произведение зарядаqдиполя (q> 0) на плечо1называется электрическим моментом диполяр_е:

.

Напряженность Е поля диполя в произвольной точке:

,

гдеЕ₊иЕ_-– напряженности полей зарядов+qи -q(рис. III.2.1).

В точке А, расположенной на оси диполя на расстоянииrот его центра (рис. III.2.1) (r≫l), напряженность поля диполя равна:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

В точке В, расположенной на перпендикуляре, восставленном к оси диполя из его середины на расстоянииrот центра (r≫l),

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

В произвольной точке O, достаточно удаленной от диполя (r≫l) (рис. III.2.2), модуль напряженности его поля равен:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).