Геометричні фігури та величини.
В четвертому класі узагальнюється та систематизується геометричний матеріал, який вивчався в 1-3 класах. Доповнюються та узагальнюються властивості геометричних фігур, а також вивчаються нові геометричні фігури.
Первинними поняттями в геометрії є – точка, пряма, площина. Вони вводяться без визначення ( про них кажуть, що це невизначувані поняття), лише спираючись на досвід дитини.
Всі інші поняття визначаються через первинні або ті, що були визначені раніше.
Наприклад:
Відрізок – це частина прямої, яка складається з усіх точок прямої, що лежать між двома даними точками на прямій. Ці точки називають кінцями відрізка.
А
В Інакше: відрізок –
це частина прямої,
Яка обмежена двома точками.
Позначаємо: АВ.
Промінь – це частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на прямій точки.
Ця точка – початок променя.
А Точка А розбила пряму на два променя
в
а
а
і
в,
які мають спільний початок.
О
М
В
О
Кут – це фігура, яка складається з точки – вершини – вершини кута - та двох різних променів, що виходять з цієї точки – сторін кута.
А
Кут можна позначати:
однією
буквою -
В,
яка означає вершину кута;
В
трьома буквами
, серед яких позначення вершини
ставиться
в середині -
АВС.
С
За величиною кути поділяються на прямі, гострі і тупі.
Як відомо, поняття про прямий кут учні отримують з практичного досвіду ( при подвійному перегинанні аркуша паперу).
Гострий кут менше прямого, тупий кут більше, ніж прямий.
D
В С На
цьому малюнку:
АОВ
– прямий,
АОС
– гострий,
АО
D
– тупий
О
А
Одна з найбільш відомих учням фігур – трикутник.
Трикутник – це геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій і трьох відрізків, які послідовно з’єднують ці точки.
В
Точки А, В, С – вершини
трикутника,
відрізки АВ, ВС та АС сторони трикутника.
С
Кожні дві сторони трикутника утворюють
А
кут.
А,
В,
С
– кути трикутника.
Отже, елементи трикутника:
Вершини ( точки А,В,С)
Сторони ( відрізки АВ, ВС, АС, іноді довжини сторін позначають а, в, с )
Кути
(
А,
В,
С)
За величиною кутів поняття „трикутник” можна класифікувати:
Трикутники
Гострокутні Тупокутні Прямокутні
В гострокутному трикутнику всі кути гострі. В прямокутному трикутнику один з кутів прямий, два інші гострі. В тупокутному трикутнику один з кутів тупий, два інших гострі.
Учні повинні знати: в трикутнику не може бути більш, ніж один прямий кут, або більш, ніж один тупий кут.
Завдання. Позначте на малюнку вершини гострокутного трикутника А,В,С; вершини прямокутного В,С, D; вершини тупокутного А,В, D.
За довжиною сторін поняття „трикутник” класифікується так:
Трикутники
Різносторонні (
а>в>с) Рівнобедрені (
а
= в
)
Рівносторонні (
а
= в = с
) Рівнобедрені,
але не рівносторонні (
а
= в
с
)
Трикутник – це многокутник з найменшою кількістю сторін ( кількість сторін 3, вершин 3, кутів 3).
Учні знайомі також з чотирикутниками, п’ятикутниками, шестикутниками ( відповідно кількість сторін – 4, 5, 6).
А В С D А D
М Е
С D В Е
Серед чотирикутників виділяються окремі види: прямокутники і квадрати ( іноді учнів знайомлять ще й з ромбами).
Прямокутнику та квадрату дається визначення через найближчий рід та видові ознаки:
Поняття
= найближчий рід + видові ознаки
Прямокутник – це чотирикутник, у якого всі кути прямі.
(найближчий рід) ( видові ознаки)
Квадрат – це прямокутник , у якого всі сторони рівні.
(найближчий рід) ( видові ознаки)
Квадрат можна було б визначити і так: квадрат – це чотирикутник, у якого кути прямі і сторони рівні.
Але чотирикутник не є найближчим родом для поняття „квадрат”, тому прийшлось збільшити кількість видових ознак.
В
С АВСD
– прямокутник.
Властивості прямокутника:
АВ = СD, ВС = АD ( протилежні сторони рівні)
А D Властивості прямокутника не згадують при його означення.
С
D
Е
В
D
С
М
Е
В
А
А
На малюнку зображені многокутники: п’ятикутник та шестикутник.
Вершина А п’ятикутника з’єднана відрізками з двома не сусідніми його вершинами С і D. АС і АD – діагоналі п’ятикутника.
Взагалі – відрізок, який з’єднує дві не сусідні вершини многокутника називається діагоналлю.
Скільки діагоналей можна провести в п’ятикутнику? Проведемо міркування: кожну вершину п’ятикутника можна з’єднати діагоналлю лише з двома вершинами ( крім самої вершини та двох сусідніх вершин).
Чи вірно, що всього діагоналей у п’ятикутника 2 * 5 = 10? Ні, бо таким способом кожна діагональ враховується двічі ( діагональ АС та СА, але ж цей відрізок той самий).
Тому кількість діагоналей п’ятикутника 10 : 2 = 5.
Такі ж самі міркування дають змогу сказати, що у шестикутника всього
( ( 6 – 3 ) * 6 ) : 2 діагоналей, тобто 9 діагоналей.
У чотирикутнику всього дві діагоналі. В прямокутнику та в квадраті діагоналі рівні. В трикутнику зовсім не можна провести діагоналей, бо для кожної його вершини інші вершини – сусідні.
В початковій школі, крім фігур обмежених ламаною вивчаються фігури, які обмежені кривою лінією. Найпростішою з таких фігур є коло.
Візьмемо довільну точку О на площині та відкладемо від неї відрізки
D однакової довжини. Одержимо множину точок, які
А
знаходяться на рівних відстанях від
вибраної точки О.
Ця
множина точок і складає фігуру, що
називається
О
колом.
В
С Елементи кола: центр
О, відрізок ОА – радіус
кола,
відрізок
ВС, що з’єднує дві будь-які точки кола,
хорда;
М хорда DМ, яка проходить через центр, діаметр кола.
Коло обмежує частину площини, яка разом з колом становить геометричну фігуру – круг.
А Яку б точку цієї фігури ми не взяли, вона знаходиться від
центра
кола на відстані, яка дорівнює радіусу
(ОА) або
О
менше радіуса (ОА). Точка В – внутрішня
точка круга, А
В
лежить на границі круга, якою є коло.
Виділимо такі частини круга: сегмент та сектор.
Сегмент
– це частина круга,
D
яка обмежена хордою СD
та
С
дугою кола.
С1
О
Хорда розбиває круг на два
В
сегменти.
С2
А
Сектор
– це частина, яка обмежена двома радіусами
ОА та ОВ і дугою кола.
А
О
півкруга (
цю фігуру можна назвати як
В сегментом, так і сектором.