80

Лекційно-практичний курс

З математичного аналізу.

Частина 1. Вступ до аналізу.

Зміст

Зміст 2

Передмова 4

Елементи теорії множин. 5

Лекція №1 5

Відношення. Функції. 5

Практичне заняття № 1 7

Задачі 7

Довести 7

Лекція №2. 8

Відношення порядку. Множина дійсних чисел. Точна верхня (нижня) границя. 8

1. Відношення порядку. Верхня границя. Приклади. 8

Практичне заняття № 2 10

Тема: Відношення, функції. Дії над функціями 10

Лекція №3. 10

Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда. 10

Практичне заняття №3 13

Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа. 13

Практичне заняття № 4 14

Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані. 14

Практичне заняття №5 16

Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності. 16

Практичне заняття №6 18

Тема: Принцип математичної індукції. 18

19

Лекція №4. 20

Кардинальні числа. 20

Практичне заняття № 7 25

Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум. 25

Елементи топології. 27

Лекція №6. 27

Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини. 27

Лекція №7. 30

Неперервні функції. Гомеоморфізми. 30

Лекція №8. 32

Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології. 32

Практичне заняття № 8 34

Тема: Елементи топології 34

Послідовності. 36

Лекція №9. 36

Границя послідовності та її властивості 36

Лекція №10 38

Послідовності в R1 та в Rn 38

Практичне заняття №9 41

Тема: Границя послідовності. 41

Практичне заняття №10 43

Тема: Обчислення границі послідовності. Число е. 43

Лекція №11 45

Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі. 45

Лекція №12 48

Властивості границь. Неперервність. Розриви функцій і 48

Практичне заняття №11 51

Тема: Границя функції 51

Практичне заняття №12 53

Тема: 1а, 2а чудові границі. 53

Практичне заняття №13 56

Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація. 56

Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах. 59

Лекція № 13 59

Компактні простори. Компактні множини в R1 і Rn 59

Практичне заняття №14 62

Тема: Компактні простори 62

Лекція № 14 63

Властивості неперервних функцій на компактних просторах. 63

Лекція № 15 65

Зв'язні простори. Теорема Больцано-Коші в R1. Існування і неперервність оберненої функції для строго монотонної неперервної функції. 65

Практичне заняття № 15 67

Тема: Зв’язні множини. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність. 67

Лекція № 16 69

Означення та неперервність елементарних функцій. 69

Лекція № 17 72

Повні простори. Зв'язок повноти і компактності. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку. 72

Практичне заняття № 16 74

Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку. 74

Лекція №18. 75

Початкові відомості про ряди. 75

Числові ряди. 75

Практичне заняття № 17 78

Тема: Числові ряди, їх збіжність. 78

Література 80

Передмова

Пропонований посібник призначений для студентів фізико-математичного факультету спеціальності «Математика», а також може використовуватися студентами суміжних спеціальностей, у яких читається курс математичного аналізу.

Виклад матеріалу оснований на підході, який використовує елементи топології та функціонального аналізу. Це дозволяє викладати матеріал за принципом: від загального до окремого. Крім того, такий підхід набагато спрощує доведення ряду властивостей, також більш яскраво демонструє причинно-наслідкові зв’язки матеріалу, який викладається.

Відзначимо, що для ряду властивостей не наводяться доведення, це стосується тих стверджень, які не важко знайти у загальнодоступній літературі (а також довести самостійно).

Протягом всього посібника розташовуються практичні заняття, які, з одного боку, носять тренувальний характер, а з іншого доповнюють викладений теоретичний матеріал.

Крім того, відзначимо, що поділ матеріалу на лекції носить умовний характер і зроблений у відповідності з курсом лекцій прочитаних у студентів фізико-математичного факультету.

Більш того, студент в кінці знайде список основної літератури по теорії і практиці в сполученні з якими, ми сподіваємося, даний посібник допоможе освоїти предмет більш глибше.