Лекція №5. Множини потужності континуум, та їх властивості.

1. Потужність континуума.

Теорема. Множина U= не еквівалентна множині натуральних чиселN.

Доведення. Припустимо, що U = [0;1] - зчисленна і її елементи можна представити у вигляді послідовності x_l,x₂,...,x_n,.... Розглянемо ,виберемо довільне ціле число від 1 до 8 включно, відмінне відj–го десяткового знака числа х_j. Таким чином, що - десятковий дріб відмінний від х_n,(так як n-й знак відмінний від 0,9 і n-го знака х_n).

Числа 0 і 9 не використовуються, так як у противному випадку можливий різний запис числа (0,10200...=0,101999...). Отже, x_l,x₂,...,х_j,... не містить число , це протиріччя свідчить, що наше припущення невірно, тобтоUN

Означення. Множини, еквівалентні [0; 1] - множини потужності континуум, нижче це будемо позначати card A=c.

Приклад. Враховуючи приклади та властивості з лекції 4 маємо:

1. card = c;

2. card[0;l] = card[0;l) =... = card R = c;

3. Множина трансцендентних чисел нескінчена і має потужність с.

2. Властивості потужності континуум.

Теорема 1. Скінчене або зчисленне об'єднання множин потужності континуум має потужність континуум.

Доведення. Нехай та card A_n=c. Для кожного n , тоді, тобто.

Теорема 2. Множина має потужність континуум.

Доведення теореми випливає з відношення ↔. Оскільки будь-яке число зможливо представити вказаним дробом(дивись курс алгебри), то множина~, що і треба було довести.

Теорема 3. Декартовий добуток скінченої або зчисленної кількості множин потужності континуум має потужність континуум.

Доведення. Нехай А= , де card A_n=с, для кожного n. тобто . Оскільки card A_n=с, n=1, 2,... маємо, що для кожного n=1, 2,...

(згідно з попередньою властивістю). Тоді будь-якому однозначно відповідає послідовністьнатуральних чисел, а набору (a₁,…,a_k,…) множина

котру можна розташувати у послідовність за зростанням суми індексів. Таким чином, елементу (a₁,…,a_k,…) множини А взаємно-однозначно відповідає елемент множини В. Отже А~В, що й треба було довести.

Приклад. Rⁿ має потужність континуум.

Теорема 4. Об'єднання континуум множин потужності континуум має потужність континуум.

Доведення. Нехай А=, де card X=c, та для кожногоcard=c. Оскільки Х~R¹, то будь-якому взаємо-однозначно відповідає дійсне число. При кожному~=(прямадекартової площини). Тоді~, отже card A=c.

Практичне заняття № 7 Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум.

Необхідні відомості: Визначення взаємно – однозначної відповідності множин. Еквівалентні множини. Визначення потужності і її властивості. Зчисленні множини і їх властивості. Існування множини, яка не є зчисленною. Потужність континуума, Властивості множин потужності континуум.

Задачі:

1. Взаємно однозначні відповідності. Еквівалентність множин.

1. Установити взаємно - однозначна відповідність між N і Q.

2. Знайти взаємно – однозначне відображення [0,1) на [0,1].

3. Знайти взаємно – однозначна відповідність [0,1) на .

4. Установити взаємно – однозначна відповідність між окружністю і прямою.

2. Потужність множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум.

2.1 Яка потужність множини всіх кінцевих десяткових дробів.

2.2 Яка потужність множини всіх трикутників на площини, вершини яких мають раціональні координати.

2.3 Довести, що множина усіх многочленів з раціональними коефіцієнтами зчисленне.

2.4 Довести, що множина непересічних відрізків на прямої зчисленна.

2.5 Довести, що множина усіх строго зростаючих послідовностей натуральних чисел має потужність континуума.

2.6 Довести, що будь-яка опукла множина на площині має потужність континуума.

2.7 Яка потужність множини всіляких багаточленів (з довільними коефіцієнтами)?

Задачі для самостійного рішення

1. Установити взаємно – однозначна відповідність між N і множиною чисел, які поділяються на 3 із залишком 2.

2. Установити взаємно – однозначна відповідність між крапками концентричних окружностей.

3. Установити взаємно – однозначна відповідність між сферою з виколотим полюсом і площиною.

4. Побудувати взаємно – однозначна відповідність окружності одиничного радіуса на відрізок [0,1].

5. Установити взаємно – однозначну відповідність між відкритим одиничним колом і замкнутим одиничним колом.

6. Знайти взаємно – однозначну відповідність між замкнутим одиничним колом і доповненням до відкритого одиничного кола.

7. Довести, що множина кіл площини з раціональними радіусами і координатами центра – зліченна.

8. Довести, що множина непересічних трикутників площини – зліченна.

9. Довести, що якщо відстань між будь-якими двома крапками множини Е на прямої більше 1, то множина Е кінцева чи зліченна.

10. Нехай Е зліченна множина на . Чи можна зрушити цю множину на величину а (тобто замінити всі крапки хЕ на х + а ) так, щоб отримана множина Е_а не перетиналася з Е?

11. Довести, що множина дробова – раціональних функцій , де,b,Q, a,m,nN – зліченна.

12. Довести, що довільний замкнутий квадрат на площині має потужність континуума.

13. Довести, що множина усіх кінцевих підмножин зліченної множини – зліченна. А множина усіх підмножин зліченної множини має потужність континуума.

14. Яка потужність множини всіх кінцевих послідовностей дійсних чисел.

15. Яка потужність усіх відрізків на числовій прямій?

16. Яка потужність множини всіх кіл на площині?

17. Яка потужність усіх правильних багатокутників на площині?

18. Довести, що множина дробово–раціональних функцій (див. задачу 11 ) з дійсними коефіцієнтами має потужність континуум.

19. Яка потужність множини всіх послідовностей дійсних чисел.

20. Довести, що множина усіх числових функцій, визначених на [ a,b ] має потужність гіперконтинуума.