2. Принцип Архімеда. Наслідки.

Теорема 1. У будь-якій не порожній підмножині множини N існує максимальний елемент.

Доведення. Нехай A N, c = sup A (існує за теоремою про верхню границю). Тоді . Маємо: n =max A, оскільки усі натуральні числа, які більші n, не менші n+1, тобто n+1> c і не містяться у множині А.

Наслідок. Множина N необмежена зверху.

Теорема 2. У будь-якій не порожній обмеженій зверху підмножині множини Z існує максимальний елемент,

Доведення. Аналогічно доведенню теореми 1.

Наслідок. Множина Z необмежена зверху.

Самостійно сформулювати та довести властивості аналогічні теоремам 1,2 для мінімального елемента.

Принцип Архімеда. Нехай х - довільне дійсне число, a h- довільне додатне число. Тоді існує єдине ціле число k, для якого .

Доведення. Розглянемо множину - не порожня (оскільки Z - необмежена зверху) обмежена знизу підмножина множини цілих чисел. В ній існує єдиний мінімальний елемент k, тобто , тоді .

Наслідки.

1.

Доведення. За принципом Архімеда при х=1 і h=1<n.

2. Якщо у - довільне дійсне невід'ємне число, і для будь-якого натурального числа n маємо , тоу = 0.

Доведення. Якщо y>0, то h=y, x=1 одержуємо, що тобто, що суперечить даній властивості. Маємо невірне припущення, отже у=0.

3. Для будь-яких дійсних чисел а і b таких, що a<b існує число rQ таке, що a<r<b.

Доведення. Візьмемо nN, таке що. Тоді існує k таке, що(за принципом Архімеда). При цьому, так як в протилежному випадкуі, що суперечить вибору n. Тодібуде шуканим, a<r<b.

Практичне заняття №3 Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа.

Необхідні відомості: Визначення бінарного відношення і відношення порядку.

Визначення верхньої та нижньої граней, точної верхньої та точної нижньої граней.

Визначення дійсних чисел, аксіоми повноти.

Теорема о верхній грані.

Задачі

1. Бінарне відношення і відношення порядку

1.1 Нехай Х=[0,1], побудувати бінарне відношення зобразити його на площині.

1.2 Нехай X=N ввести на N відношення порядку на основі подільності чисел і довести, що відношення – відношення порядку. Чи буде N впорядкованою множиною?

2. Точна верхня та точна нижня грані

2.1 , де Е- впорядкована множина, довести

2.2 Нехай , де Е- впорядкована множина для будь-яких,,то.

3. Визначення дійсних чисел. Теорема о верхній грані.

3.1 Перевірити, що Q задовольняє усім аксіомам дійсних чисел окрім аксіоми повноти.

3.2 Довести, що принцип верхньої грані еквівалентний аксіомі повноти.

Завдання для самостійної роботи.

1. Нехай x=R¹ побудувати бінарне відношення і зобразити його на площині.

2. Нехай Х – множина усіляких множин. Показати, що відношення включення – відношення порядку. Чи буде Х впорядкованим?

3. Нехай Х=R². Розглянемо відношення на R² таке, що (х, у) (х₁, у₁), якщо . Чи буде це відношення відношенням порядку?

4. Нехай Х=R³. Розглянемо відношення на R³ таке, що (х, у, z) (х₁, у_1, z₁), якщо ,,. Чи буде це відношення відношенням порядку, а множина Х - впорядкованою?

5. Ввести відношення порядку подібно до задачі 4 на Rⁿ.

6. , де Е- впорядкована множина, довести.

7. Нехай і для будь-яких,,. Якщо, то.

8. Нехай х, у – множини із задачі 7, то або існує max x, або існує min y.

9. Показати на прикладі, що аксіома повноти не виконується на множині Z.

10.Який вид має мати множина А – підмножина R¹, щоб на ньому виконувалася аксіома повноти.

11. Нехай на R³ введено відношення порядку із задачі 4. Якщо А, Ві будь-який елемент із А знаходиться в відношенні з будь-яким елементом із В, то існує елемент (x₀, y₀, z₀)такий, що

для і.