3. Теорема Больцано-Вєйерштрасса.

Теорема. Для того, щоб метризований простір Е був компактним, необхідно і достатньо, щоб будь-яка послідовність елементів з Е мала принаймні одну граничну точку (з будь-якої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність).

Доведення. Доведемо необхідність (котру будемо застосовувати нижче). Нехай простір Е компактний і .

Позначимо і- його замикання.утворюють спадну послідовність замкнених множин. Оскільки жодна з них не порожня, тоØ.

Нехай , з іншого боку , тобто, значить- гранична точка - гранична.

У випадку Е=R¹ або Rⁿ теорема звучить наступним чином:

Теорема. Больцано-Вєйерштрасса. Із будь-якої обмеженої послідовності в R¹ (або Rⁿ) можна виділити збіжну підпослідовність.

Це зрозуміло, оскільки обмежена послідовність у R¹ (Rⁿ) належить (паралелепіпед), а це компактна множина.

Практичне заняття №14 Тема: Компактні простори

Основні відомості: 1.Визначення компактного простору.

2. Необхідні та достатні умови компактності топологічного, метричного та нормованого просторів..

Задачі.

1. Нехай Е компактний простір, а F – замкнена множина в Е. Довести, що F – компактний простір.

2. Довести за допомогою задачі 1, що будь-яка замкнена обмежена множина в R² компактна.

3. Довести, що об’єднання кінцевого числа компактів є компактом.

4. Показати, що множина не є компактною вR¹.

5. Довести, що якщо метричний простір Е – компактен, то з будь-якої послідовності Е можна виділити підпослідовність, що сходиться.

Задачі для самостійного розв’язання

1. Довести компактність в R² множина за допомогою означення.

2. Довести, що перетин будь-якої сукупності компактів є компактом.

3. Нехай і, причому А і В не порожні, де- метричні простори. Довести, що для компактностівз метрикою, необхідно і достатньо, щоб А і В були компактні.

4. Довести, що відрізок можна покрити кінцевим числом інтервалів радіусом не більше ніж, дедовільне, наперед задане число.

5. Розглянемо простір з нормою. Показати, що взамкнена обмежена множинане є компактною.

6. Довести, що з будь-якої послідовності точок одиничної окружності в можна виділити підпослідовність, яка сходиться.

7. Довести компактність з допомогою теоремиБольцано-Вєйерштрасса.

8. Навести приклад послідовності з якої неможна відокремити підпослідовність, що сходиться, у множині .

9. Нехай послідовність множин в метричному просторі Х таких, що

1. - компактна множина для кожного і.

2. для кожногоi >1.

Довести, що Ø.

10. Показати на прикладі, що ствердження задачі 9 не вірне, якщо замінити умову 2 із задачі 9 на: для кожногоi>1.

Лекція № 14 Властивості неперервних функцій на компактних просторах.

1. Теореми Вєйерштрасса. Їх трактування в r1 і Rn.

Теорема. Образ компакта при неперервному відображенні є компактом.

Доведення. , тобто, де Е – компактний простір, а- неперервна. Нехай В – відкрите покриттяF, тоді становлять відкрите покриттяЕ з якого можна вибрати скінчене підпокриття , але тоді покриття F. Дійсно, не порожнє. Нехай- належить деякому . Таким чином- шукане покриття.

Наслідок 1. Будь-яка неперервна бієкція компактного простору Е на топологічний простір F є гомоморфізмом.

Насправді, образ кожної замкненої підмножини Е (компактної підмножини) буде компактне в F, a значить і замкнене в F. Отже, відображення - гомоморфізм, згідно теоремі про достатню умову гомоморфізму.

Наслідок 2. Відмітимо, що якщо , де- неперервне,Е – компактний, а F - метричний простір, тоді множина - замкнена і обмежена вF.

Це твердження у випадку є теоремою Вєйерштрасса 1.

Теорема. Нехай визначена і неперервна на замкненій обмеженій множині вRⁿ, тоді на цій множині вона обмежена.(При ).

Теорема. Неперервне відображення не порожнього компактного простору в R¹ набуває свого максимального і мінімального значень.

Доведення. Нехай, , - неперервне, Е - компактний, тоді (Е)- компакт в R¹, тобто замкнене і обмежене в R¹. Оскільки (Е) обмежене зверху, тоі- гранична точка (Е), і в силу замкненості , тобто. Аналогічне доведення для мінімального значення.

Цю властивість можна переформулювати у випадку та

Теорема (Вєйерштрасса 2). Нехай і- неперервна на[],тоді вона набуває свого максимального і мінімального значення на [].

Теорема. Нехай визначена і неперервна на замкненій обмеженій множині вRⁿ, тоді вона на цій множині набуває свого найбільшого і найменшого значення.