2. Теорема Вєйєрштрасса про монотонну послідовність. Число е.

Теорема. Для того, щоб монотонно зростаюча (спадна) числова послідовність мала скінчену границю необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена зверху (знизу).

Доведення.

Необхідність. Слідує з властивостей послідовностей, що збігаються.

Достатність. Нехай зростаюча числова послідовність обмежена зверху, тоді існує . З означеннявиконується властивості:

1. .

2.

Отже: , тобто виконується означення границі послідовності і. Аналогічно доводиться випадок спадаючої числової послідовності.

Приклад. Число е.

Покажемо, що існує

Розглянемо послідовність Покажемо, що вона – спадна:

(Нерівність випливає з нерівності Бернуллі)

За теоремою Вєйєрштрасса існує скінчена границя послідовності . Тоді- існує. Позначимо

3. Лема про три границі. Граничні переходи у нерівностях.

Теорема.

1. Нехай і- збіжні числові послідовності з границями А і В відповідно.

Якщо А<В, то .

1. Hexaй числові послідовності ,,такі, що. Якщо ,мають одну границю, тозбігається і має цю ж границю.

Доведення. 2)

Нехай , тоді

Отже, тобто– границя послідовності{_n}.

Наслідки

Нехай і- числові послідовності і =А

1. Якщо

2. Якщо

3. Якщо

4. Якщо

Приклад. Довести

Доведення.

.

За лемою про три границі

4. Топологічні добутки. Послідовності в Rn.

Повернемося до послідовностей у загальному вигляді.

Розглянемо ситуацію у метричних просторах, хоча усе зазначене нижче справедливе і у випадку довільних топологічних просторів.

Нехай - метрики вЕ₁ і Е₂. На множині Е₁Е₂ за допомогою формули можна ввести метрику.

Приклад.

На маємо:

На маємо:

Теорема. Для того, щоб послідовність (₁, ₁),...( _n, _n),... з Е₁Е₂ була збіжною в точці (, b)у просторі Е₁Е₂ необхідно і достатньо, щоб послідовність була збіжною вЕ₁ до ,a була збіжною уЕ₂ до b.

Доведення. Необхідність. Використовуючи нерівність , а також збіжність (_n,_n) до (, b)(згідно з означенням границі).

Достатність випливає із збіжності і нерівності

Зауваження. Теорема справедлива для добутку n метричних просторів .

Приклад. Якщо з природною метрикою, то за даною теоремою маємо, що послідовністьзбігається до точки (₁,…, _n) тоді і тільки тоді, коли в.

Практичне заняття №9 Тема: Границя послідовності.

Необхідні відомості:

1. Визначення границі послідовності.

2. Властивості границь послідовностей.

3. Граничні переходи в нерівностях.

4. Властивості монотонних послідовностей.

Задачі:

1. Довести ;;

2. Довести, що послідовністьрозбігається

3. Довести збіжність послідовностей (використовувати критерій Коші).

2. Використовуючи властивості граничних переходів розв’язати наступні задачі:

1. Довести (використовувати нерівність Бернуллі);(використовувати оцінку за допомогою середнього арифметичного).

2. Знайти (оцінити знизу та зверху дріб).

3. Нехай - послідовність чисел така, що. Довести, що

4. Розв’язати рівняння

5. Довести нерівність

Завдання для самостійної роботи.

Довести:

1. 2. 3.

4. 5.6.

7. 8. Знайти

9. Знайти ,- будь-яке число.

10. Нехай тадля будь-якого. Довести, що

11. Довести збіжність послідовності

12. Довести збіжність послідовності (використовувати).

13. Довести, що послідовністьрозбігається.

Довести, що послідовності мають границю:

14. 

15. 

16. 

17. Знайти границю послідовності

18. Знайти значення виразу

19. Нехай . Довести, що існуєі знайти його.

20. Довести збіжність та знайти границю

21. Довести, що монотонна послідовність буде збіжною, якщо збігається деяка її підпослідовність.

22. Довести, що якщо, то

23. Довести, що якщо послідовність не обмежена, то існує підпослідовністьтака, що.

24. Якщо , то. Довести за допомогою критерію Коші.

25. Довести .