Лекція №8. Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології.

1. Еквівалентні метрики і норми,

Для означення систем відкритих і замкнених множин, околів, неперервних функцій не обов'язково мати метрику. Все це можна визначити виходячи з систем відкритих множини. Може статися, що дві різні метрики визначають одну і ту ж систему відкритих множин, тоді вони визначають однакові системи замкнених множин, околів і т.д.

Наприклад, (х,у) і 2(х,у), визначені на довільній множині Е.

Означення. Дві метрики у просторі Е називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну і ту ж систему відкритих множин (топологію).

Це означення можна перефразувати слідуючим чином, тотожне відображення Е (наділене однією метрикою) на Е (наділене другою метрикою) є гомеоморфізмом.

У векторному просторі дві норми еквівалентні, якщо еквівалентні відповідні їм метрики.

Теорема. Дві норми || ||₁ і || ||₂ на деякому векторному просторі Е еквівалентні тоді і тільки тоді, коли існують такі додатні сталі k₁, k₂, що мають місце нерівності:

Доведення.

Необхідність. Позначимо через B₁(R) (B₂ (R)) замкнену кулю з центром в точці 0 радіуса R у розумінні || ||₁ (|| ||₂). Нехай норми еквівалентні. Тоді В₁(1) - окіл 0 одночасно в обох метриках, отже таке, щоВ₁(1).

За допомогою гомотетії з коефіцієнтом k₂R отримуємо включення , що означає: з нерівності || х||₂R.Так як перша нерівність справедлива для ||х||₂=R, то друга дає при цьому. Міняючи місцями || ||₁ і || ||₂ одержимо другу нерівність.

Достатність. Якщо умова теореми виконується, то із нерівності ||х||₂і другої нерівності випливаєтобто. Звідси випливає, що будь-яка куля у першій метриці заздалегідь містить деяку кулю у другій метриці, і навпаки. За допомогою паралельного перенесення включення переносяться на кулі з довільним центром.

Нехай АЕвідкрита у розумінні метрики 1, тоді але тоді слідує:, тобтоА - окіл кожної своєї точки у розумінні метрики , тобто відкрита у другій метриці. Аналогічно в обернену сторону, якщо помінятиімісцями і скористатися першою нерівністю. Таким чином обидві метрики задають одну і ту ж систему відкритих множин.

Наслідок. Усі три норми, визначені вище у Rⁿ - еквівалентні. Довести самостійно.

Має місце більш загальне твердження.

Теорема. В скінченовимірному векторному просторі над полем дійсних або комплексних чисел будь-які дві норми еквівалентні. Існує єдина система відкритих множин для будь-яких введених у ньому норм.

Зауваження.

1. Ця властивість не переноситься на нескінченновимірні векторні простори.

2. Якщо властивість топологічна (тобто залежить від системи відкритих множин, а не від метрики) у нормованому скінченновимірному просторі, то в незалежності від того, яку конкретну норму обрано, вона виконується .

2. Топологічні простори.

Існує два види властивостей: метричні, які залежать від метрики; топологічні, що не залежать від метрики, а залежать тільки від системи відкритих і замкнених множин. Зрозуміло, що топологію можна ввести, не використовуючи метрику.

Означення. Е називається топологічним простором, якщо в ньому виділено клас підмножин, відкритих у цій топології, які задовольняють властивостям відкритих множин (властивості 1-3 відкритих множин лекція №6).

Нижче ми будемо допускати (без додаткових застережень), що система відкритих множин у просторі Е задовольняє також аксіомі Хаусдорфа. Ця вимога завжди буде виконуватися у прикладах, що будуть розглядатися.

Приклад. E=R¹ відкриті множини – множини, що за допомогою властивостей 1-3 побудовані з будь-яких інтервалів (a, b)R¹.

Отже, відкрита множина в R¹ , буде представлятися як об’єднання, не більше ніж зліченної кількості, попарно не перетинаючих інтервалів (довести самостійно або знайти доведення у літературі).

Нормовані простори є метричними, а ці – топологічними просторами.

Топологічний простір - метризований, якщо існує метрика, що породжує топологію. В основному ми будемо мати справу з метризованими просторами (R¹, Rⁿ , функційні простори).

Нехай Е - топологічний простір, a F Е. У множині F можна ввести топологію, приймаючи за відкриті множини в F перетини F з відкритими множинами у розумінні Е. У цьому випадку F - топологічний підпростір Е, топологія в F, індукована топологією Е.

Приклад. Е = R¹, F=, відкриті множини в F, це множини побудовані за допомогою властивостей 1-3 з множин виду, де (,b) будь-який інтервал з R¹.

Зауважимо, що, наприклад, відкрита множина у F - , з точки зоруЕ, не є відкрита множина.