Практичне заняття №10 Тема: Обчислення границі послідовності. Число е.

Необхідні відомості: 1. Властивості границі суми, добутку та ділення.

2. Число е.

3. Границя в прямому добутку метричних просторів.

Задачі

1. Знайти границю:

1.1. ;.

1.2.

1.3. ;;

1.4.

1.5. (звернути добуток)

1.6.

2. Знайти границі, використовуючи число е:

2.1. ;

2.2. .

3. Знайти границі послідовностей

3.1.

3.2.

Завдання для самостійної роботи:

Довести:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. ,_n – арифметична прогресія з різницею d0.

12. _n>0, _n – арифметична прогресія.

13.

14.

15. При яких а послідовність - n має границю? Чому вона дорівнює?

16.

17.

18.

19.

20.

21. Нехай . Знайти

22.

23.

24.

25.

Лекція №11 Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі.

1. Границя функції. Означення по Гейне і Коші.

Нехай : Х F, де X, F - топологічні простори, а і точка х₀ - гранична для А.

Означення 1 (топологічне). Точка у₀ є F - границя функції () при ₀ по множині А, якщо для будь-якого околу V точки у₀ в F існує окіл U точки ₀ в X такий, що . Позначаємо: у₀=

Приклад.

1. Якщо Х=R, A=N, ₀=+,(n)=_n, то у₀=- границя послідовності

2. ()- для будь-якого ₀і А

Нехай X - метризований простір, тоді означення 1 буде еквівалентне означенню границі функції по Гейне.

Означення 2. Точка у₀F -границя функції () при₀ по множині А (₀ - гранична точка А), якщо для будь-якої послідовності {_n}: _{n о}, _nА, маємо в F.

Доведемо еквівалентність означень.

Означення 2 випливає з означення 1 (навіть якщо X просто топологічний простір). Дійсно, нехай означення 1 виконується. Якщо , то для U з означення 1

, тобто

Доведемо, що означення 1 випливає з означення 2. Нехай виконується означення 2. Припустимо, що означення 1 не виконується, тобто . Візьмемо за U шари , тоді(перетин не порожній, так як точка х₀ гранична для А). Одержали суперечність: х_n х₀ , х_n А , (x_n) ,яка і доводить твердження.

Розглянемо ситуацію, коли X і F - метричні простори з метриками івідповідно. Означення 1 у цьому випадку прийме вигляд:

Означення (по Коші) . Точка у₀Fназивається границею() при₀ по А, якщо

таке що для якого виконується умовавиконується нерівність

.

Означення по Коші та по Гейне еквівалентні (у зв’язку з вище доведеним).

Приклад.

1. E=F=R

, означає, що таке що, для якого виконується умова, виконується нерівність.

Означення. ₀ називається границею функції () при₀ з права по А, якщо

такого що виконується нерівність.

Позначимо

Означення. ₀ називається границею функції () при₀ зліва по А, якщо

такого що виконується нерівність.

Позначимо

З означень границі та границь справа та зліва випливає, що границя існує тоді і тільки тоді, коли існують границі з права та зліва, що рівні між собою.

Крім того, множину А, нижче, не будемо вказувати, якщо вона є зрозумілою з контексту або співпадає з областю визначення функції.

2. Довести

Знайдемо для яких буде виконуватися нерівність(для довільного).

Припустимо, що , тодіабоі. Отже

. Якщо , то. Візьмемо, тоді якщо, отже означення виконується, що і треба було довести.

3. Функція не має границі при. Дійсно якщо розглянути послідовності, то обидві послідовності збігаються до 0, однакотже означення Гейне не виконується.

4. ,

Число y₀- границяпо множині, якщо, такого, щовиконується

.

Зазначимо, що границя не залежить від того по якому шляху рухається до граничної точки₀.

5. Нехай Е=R², a F=з відповідними метриками

Розглянемо границю при (,)(0,0).

При =0і має границю 0 при (0,)(0,0).

При =0і має границю 0 при (,0)(0,0).

При =і має границюпри (,)(0,0).

Тобто в залежності від того по якому шляху точка (,) прямує до (0,0) отримуємо різні значення границі. Отжене має границі при (,)(0,0).