Практичне заняття № 4 Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані.

Основні відомості:

1. Аксіома неперервності.

2. Визначення верхньої та нижньої грані множини.

3. Визначення sup та inf множини.

4. Теорема про існування sup та inf обмеженої множини.

5. Принцип Архімеда.

Задачі:

1. Обмеженість. Верхні, нижні грані. Мінімальні, максимальні елементи.

1. Довести, що множина обмежена, тоді і тільки тоді, коли існує таке, що для

всіх виконується нерівність.

2. Довести обмеженість множини X=.

1.3. Знайти точні верхні та нижні грані множин ,.

Найбільші та найменші елементи цих множин, якщо такі елементи існують.

2. Точні грані.

2.1 Нехай та – X - множина чисел, протилежних числам.Довести, що

.

2.2 Нехай та X+Y=. Довести

2.3 Нехай та.Довести, що

2.4 Довести, що множина всіх правильних раціональних дробів

, не має найбільшого елемента. Знайти його точну верхню грань.

Завдання для самостійної роботи.

Довести обмеженість множини:

1.

2.

3.

4. Довести, що множина необмежена зверху.

5. Довести, що множина необмежена знизу.

6. Довести, що множина необмежена зверху і знизу.

Знайти точні верхні і нижні грані множин, найбільші і найменші елементи, якщо такі існують:

7.

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. Нехай і.Довести, що.

14. Нехай і. Довести, що.

15. Нехайі XY=.Довести, що.

16. Нехайі.Довести, що.

17. Нехайі.Довести, що.

18. Нехайі.Довести, що.

19. В умовах задачі 18 довести, що: .

20. і обмежені. Довести, щообмежено і.

21. В умовах задачі 20 довести, що: .

22. і обмежені. Довести, щообмежено і.

Практичне заняття №5 Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності.

Основні відомості:

1. Визначення множини дійсних чисел.

2. Формули скороченого множення.

3. 

4. 

5. 

6. 7.8.

Задачі:

1.Розв'зати завдання:

1. Представити у вигляді суми трьох радикалів:

2. Обчислити:

3. Довести , якщоі

2 В наступних задачах знайти суму:

1. 

2. 2.3.

3. Довести нерівності:

1. 

2. 

Вказівка: взяти

3.3

Завдання для самостійної роботи.

1. Довести:

2. Спростити:

3. 

4. Спростити:

5. Довести:

6. Довести a³+b³+c³=3abc , якщо a+b+c=0.

7. Довести, що якщо задовольняють співвідношенню, то серед a, b, c знайдуться два числа, сума яких дорівнює 0.

8. Показати, що при непарному з рівностівиходить, що

9. Знайти суму де- арифметична прогресія.

10. Знайти суму де- арифметична прогресія.

11. Знайти суму:

12. Знайти суму:

13. Чому дорівнює при=73?

14. Знайти доданок:

Довести нерівності:

15. 16.

17.

18. , якщо

19. ,

20.,

21. , де- сторони, а- площа трикутника.

22.

23.

24. . Довести 14<a₁₀₀<15.

25. Нехай довести, що

Вказівка: показати, що приймає невід'ємні значення при всіх.

Практичне заняття №6 Тема: Принцип математичної індукції.

Основні відомості:

1. Формули скороченого множення.

2. Принцип математичної індукції.

3. Властивості подільності чисел.

Задачі:

1. Довести тотожність:

1. 

2. ,

Вказівка: помножитина.

1.3. ,

2. Довести нерівність:

1. ,

2. ,

3. Довести, що будь-яку суму грошей, більшу 7 копійок, можна обміняти лише трьох копійочними і п’яти копійочними монетами.

Завдання для самостійної роботи.

Довести тотожності:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Знайти -й член послідовності.

Довести нерівності для :

7. ,

8. 

9. 

10. 

11. ,(нерівність Бернуллі)

12. 

13. 

14. 

15. .

16.

17. Нехай - будь-які невід’ємні числа, при чому.Довести, що

Довести:

18. Дана послідовність .Довести:

1. 

2. 

19. . Довести, що