Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах. Лекція № 13 Компактні простори. Компактні множини в r1 і Rn

1. Означення компактних просторів. Приклади.

Нехай Е - топологічний простір.

Означення. Множина підмножин Е називається покриттям Е, якщо будь-яка точка x з Е належить хоча б одній з цих підмножин.

Покриття скінчене - якщо воно складається з скінченого числа множин.

Покриття відкрите - якщо воно складається з відкритих множин.

Наприклад відкрите покриття R¹

Означення. Підпокриттям називається покриття, утворене з множин першого покриття.

Означення (властивість Гейне-Бореля-Лебега). Топологічний простір називається компактним, якщо з будь-якого його відкритого покриття можна виділити хоча б одне скінчене підпокриття.

Зауваження. Компактність - властивість простору Е.

Можливо розглядати компактність з індукованою втопологією при цьому Е може бути не компактним простором.

Приклади.

1. Простір, що містить скінчене число точок - компактний.

2. R¹ , R², векторні нормовані простори - не компактні, так як множина відкритих куль з центром в точці 0 і радіусом більше нуля утворює відкрите покриття. Будь-яке скінчене число цих куль міститься в одній кулі скінченого радіуса і, отже, не покриває всього простору.

В загальному вигляді, будь-яка необмежена підмножина метричного простору не компактна.

Необхідна умова компактності метричного простору - обмеженість.

Теорема. Будь-який відрізок - компактна множина.

Доведення. Нехай відкрите покриттяіс - середина .

Припустимо, що з неможливо вибрати скінченого числа підмножин покриваючихповністю, тоді, це неможливо зробити принаймні для одного [, с] або [с,b], наприклад, [,с]=[]. Розділивши його на два, ми одержали [], що має ті ж властивості. Таким чином, отримали послідовність [],...,[],... під інтервалів: жоден з них не може бути покритий скінченою кількістю множин з.

- зростає і обмежена зверху, тоді .

- спадає і обмежена знизу, тоді .

Так як при, то Тоді будь-який відкритий інтервал, що містить , містить всі i , а значить, містить і всі [] з цими номерами. Віснує відкрита множина і для достатньо великих n . Прийшли до суперечності з тим, що [] не покритий скінченим числом множин з, що і доводить теорему.

Теорема. В Rⁿ замкнений обмежений паралелепіпед, тобто множина є компактним простором.

Довести аналогічно доведенню попередньої теореми.

2. Властивості і ознаки компактності.

Теорема. Для того, щоб топологічний простір Е був компактним, необхідно і достатньо, щоб з будь-якої множини замкнених підмножин Е, перетин яких порожній, можна було вибрати скінченну множину підмножин з порожнім перетином.

Доведення. Нехай замкнені множини такі, щоØ.- відкриті множини. ОскількиØ,- відкрите покриття Е. Тоді компактністьЕ означає існування скінченого числа , таких що=Ø і навпаки.

Наслідок. Якщо простір Е - компактний, а спадна послідовність замкнених множинЕ, перетин яких порожній, то , що множина - порожня.

У випадку Е=ця властивість називаєтьсялемою про вкладені відрізки: Нехай є система вкладених відрізків , тоді існує таке, що . Якщо при цьому, то таке - єдине.

Теорема. Нехай Е - метричний простір, а F- компактна підмножина Е. Тоді F є замкненою множиною в Е.

Доведення. Нехай - гранична точка F. Покажемо, що Позначимо, де— замкнена куля з центром в , отже,F_n - спадна послідовність замкнених множин в F. Жодна з F_n не порожня в силу того, що - гранична дляF, а оскільки множина F компактна, тоді Ø. Однак, , тобто.

Зауваження. Замкненість не гарантує компактності. Прикладом є простір R¹.

Теорема. Будь-яка замкнена підмножина компактного простору є компактним простором.

Доведення здійснюється за допомогою необхідної та достатньої умови у термінах замкнених множин.

Повернемося до ситуації нормованого простору.

Теорема. Для того, щоб підмножина скінченовимірного векторного нормованого простору Е була компактною, необхідно і достатньо, щоб вона була замкненою і обмеженою.

Доведення.

Необхідність випливає з доведених властивостей в загальній ситуації.

Достатність. Припустимо спочатку, що і норма. Будь-яка обмежена підмножина міститься в деякій кулі, в нашому випадку замкненому обмеженому паралелепіпеді, тобто міститься в деякому компакті. Оскільки підмножина замкнена, то за попередньою теоремою вона - компактна. НехайЕ - довільний нормований скінченовимірний простір. Обираючи в Е базис , одержимо, що однозначно відповідає точка. Нехай- норма в Е. Розглянемо в Е нормуозначену вище, вона еквівалентна нормі (див. попередні лекції), отже поняття (замкнений, обмежений, компактний) одні і ті ж для цих норм.

Повторюючи все, що було сказане вище, у випадку простору Е з нормою , маємо, що замкнена і обмежена підмножина Е компактна у топології, що задана нормою, отже вона буде компактна у просторі Е з нормою.