- •Лекційно-практичний курс
- •З математичного аналізу.
- •Частина 1. Вступ до аналізу.
- •Передмова
- •Елементи теорії множин. Лекція №1 Відношення. Функції.
- •1. Множини, дії над множинами, добуток.
- •2. Відношення. Функції. Приклади.
- •3. Образ, прообраз. Композиція
- •Практичне заняття № 1
- •Довести
- •Лекція №2. Відношення порядку. Множина дійсних чисел. Точна верхня (нижня) границя.
- •1. Відношення порядку. Верхня границя. Приклади.
- •2. Зростаючі функції.
- •3. Дійсні числа. Теорема про точну верхню границю.
- •Практичне заняття № 2 Тема: Відношення, функції. Дії над функціями
- •Лекція №3. Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда.
- •1. Класи чисел
- •2. Принцип Архімеда. Наслідки.
- •Практичне заняття №3 Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа.
- •Практичне заняття № 4 Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані.
- •Практичне заняття №5 Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності.
- •Практичне заняття №6 Тема: Принцип математичної індукції.
- •Лекція №4. Кардинальні числа.
- •1. Означення кардинального числа (потужності множини).
- •2. Теорема про множину як завгодно великої потужності.
- •3. Зчисленні множини.
- •Лекція №5. Множини потужності континуум, та їх властивості.
- •1. Потужність континуума.
- •2. Властивості потужності континуум.
- •Практичне заняття № 7 Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум.
- •Елементи топології. Лекція №6. Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини.
- •1. Метричні простори. Приклади. Шар. Сфера.
- •3. Відкриті, замкнені множини. Замикання.
- •Лекція №7. Неперервні функції. Гомеоморфізми.
- •1. Означення неперервної функції та її властивості
- •2. Гомеоморфізми.
- •Лекція №8. Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології.
- •1. Еквівалентні метрики і норми,
- •2. Топологічні простори.
- •Практичне заняття № 8 Тема: Елементи топології
- •Послідовності. Лекція №9. Границя послідовності та її властивості
- •Лекція №10 Послідовності в r1 та в Rn
- •1. Властивості пов’язані з діями над послідовностями дійсних чисел.
- •2. Теорема Вєйєрштрасса про монотонну послідовність. Число е.
- •3. Лема про три границі. Граничні переходи у нерівностях.
- •4. Топологічні добутки. Послідовності в Rn.
- •Практичне заняття №9 Тема: Границя послідовності.
- •Практичне заняття №10 Тема: Обчислення границі послідовності. Число е.
- •Лекція №11 Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі.
- •1. Границя функції. Означення по Гейне і Коші.
- •2. Чудові границі:
- •Практичне заняття №11 Тема: Границя функції
- •Практичне заняття №12 Тема: 1а, 2а чудові границі.
- •Практичне заняття №13 Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація.
- •Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах. Лекція № 13 Компактні простори. Компактні множини в r1 і Rn
- •1. Означення компактних просторів. Приклади.
- •2. Властивості і ознаки компактності.
- •3. Теорема Больцано-Вєйерштрасса.
- •Практичне заняття №14 Тема: Компактні простори
- •Лекція № 14 Властивості неперервних функцій на компактних просторах.
- •1. Теореми Вєйерштрасса. Їх трактування в r1 і Rn.
- •2. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора.
- •Лекція № 15 Зв'язні простори. Теорема Больцано-Коші в r1. Існування і неперервність оберненої функції для строго монотонної неперервної функції.
- •1. Означення. Неперервні відображення зв'язаних просторів.
- •2. Теорема про обернену функцію
- •Практичне заняття № 15 Тема: Зв’язні множини. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність.
- •Лекція № 16 Означення та неперервність елементарних функцій.
- •1. Степенева функція.
- •2. Показникова функція.
- •3. Логарифмічна функція.
- •2. Ознаки Коші для границі послідовності і функції в r1. Повнота r1, Rn.
- •Практичне заняття № 16 Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку.
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лекція №18. Початкові відомості про ряди. Числові ряди.
- •1. Додатні ряди.
- •2. Знакозмінні ряди.
- •3. Абсолютно збіжні ряди.
- •Практичне заняття № 17 Тема: Числові ряди, їх збіжність.
- •Література
Практичне заняття № 2 Тема: Відношення, функції. Дії над функціями
Основні відомості: Означення відношень, функцій.
Обернена функція.
Композиція функцій.
Образ, прообраз. Бієкція.
Задачі
1. Відношення, функції.
1.1 Нехай Х=[0, 1] Y=[0, 1]. Побудувати відношення в , яке не є функцією і функціональним відношенням.
1.2 Нехай X=R2 , Y=R1. Побудувати функцію в , яка містить 3 елемента.
2. Дії над функціями. Образ, прообраз функції.
2.1 Нехай . Довести:
1). якщо ; 2)..
2.2 Нехай . Довести:
1). якщо ;
2). .
2.3 Нехай - ін’єкція, то.
2.4 Довести, що якщо та- бієкції, то- бієкція і.
2.5 Найти f(f(x)), якщо .
2.6 Знайти якщо
Задачі для самостійного розв’язування.
1. Побудувати функціональне відношення в , в якому будуть використані всі елементи.
2. Нехай Х=, Y=R1. Побудувати функціональне відношення та відношення, яке не є функціональним в .
3. Довести , тоді.
4. Довести , тоді.
5. Побудувати приклад, коли .
6. Нехай ін’єктивно. Довести, що
7. Довести, що відображення задане співвідношення- бієкція.
8. Довести, що відображення відображеннязадане рівняння F(x)=(x, f(x)) –ін’єктивне.
9.Показати, що ,та
10. f(x)=ax+b. Знайти.
11. f(x, y)=ax+by+c. Чи має f(x, y) обернену функцію.
12. Навести приклад - сюр’єкція. 13. Навести приклад- ін’єкція.
14. Навести приклад - сюр’єкція 15. Нехай f(x)=ax2+bx+c: (a>0) – бієкція.
16. . Знайти f(f(x)). 17.. Знайти ff(x).
18. . Знайти f(f(f(x))).
Лекція №3. Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда.
1. Класи чисел
Означення. Множина називається індуктивною, якщо
Приклад.
Означення. Множиною натуральних чисел N називається найменша індуктивна множина, що містить 1(1,2,3, ...).
Принцип математичної індукції. Якщо підмножина Е Nтака, що 1 Е і разом з х Е число х +1 Е, то E=N.
Означення. Об'єднання множини N, множини чисел, протилежних N і {0} називається множиною цілих чисел Z.
Означення. Числа виду , mZ, nN називаються раціональними числами, а множину цих чисел називають множиною раціональних чиселQ.
Означення. Дійсні числа, які не є раціональними називаються ірраціональними. Загалом отримали : N ZQR
Алгебраїчне число - корінь рівняння аохn + a1xn-1 +... + аn =0 ai Q в протилежному випадку число трансцендентне.
(- трансцендентне число (1882 p.); - трансцендентне, - алгебраїчне,- ірраціональне (проблема Гілберта)).
Покажемо, що Ø
Доведемо, що існує, і- число ірраціональне.
Розглянемо дві множини X, Y такі, що ,, 1Х, 2Y- множини X і Y - не порожні.
І. Покажемо, що s2 = 2.
1) Припустимо, що s2 < 2. Розглянемо s+. Відомо, що , розглянемо
де
, .
Отже , прийшли до суперечності, припущення s2<2 – невірне.
2) Припустимо s2 >2, тоді <s. Міркуючи аналогічно як і в попередньому прийдемо до суперечності, тобто припущення s2 > 2 знову невірне.
Залишається єдине – s2 =2.
II. Доведемо, що s - ірраціональне. Припустимо, що s - раціональне. Тоді за означенням нескоротний дріб.
- парне число, значить m - парне : m = 2к; ;; 2k2=n2; отже n-парне, n=2p-скоротний дріб, отже припущення невірне, тобто s - ірраціональне.