Практичне заняття № 2 Тема: Відношення, функції. Дії над функціями

Основні відомості: Означення відношень, функцій.

Обернена функція.

Композиція функцій.

Образ, прообраз. Бієкція.

Задачі

1. Відношення, функції.

1.1 Нехай Х=[0, 1] Y=[0, 1]. Побудувати відношення в , яке не є функцією і функціональним відношенням.

1.2 Нехай X=R² , Y=R¹. Побудувати функцію в , яка містить 3 елемента.

2. Дії над функціями. Образ, прообраз функції.

2.1 Нехай . Довести:

1). якщо ; 2)..

2.2 Нехай . Довести:

1). якщо ;

2). .

2.3 Нехай - ін’єкція, то.

2.4 Довести, що якщо та- бієкції, то- бієкція і.

2.5 Найти f(f(x)), якщо .

2.6 Знайти якщо

Задачі для самостійного розв’язування.

1. Побудувати функціональне відношення в , в якому будуть використані всі елементи.

2. Нехай Х=, Y=R¹. Побудувати функціональне відношення та відношення, яке не є функціональним в .

3. Довести , тоді.

4. Довести , тоді.

5. Побудувати приклад, коли .

6. Нехай ін’єктивно. Довести, що

7. Довести, що відображення задане співвідношення- бієкція.

8. Довести, що відображення відображеннязадане рівняння F(x)=(x, f(x)) –ін’єктивне.

9.Показати, що ,та

10. f(x)=ax+b. Знайти.

11. f(x, y)=ax+by+c. Чи має f(x, y) обернену функцію.

12. Навести приклад - сюр’єкція. 13. Навести приклад- ін’єкція.

14. Навести приклад - сюр’єкція 15. Нехай f(x)=ax²+bx+c: (a>0) – бієкція.

16. . Знайти f(f(x)). 17.. Знайти ff(x).

18. . Знайти f(f(f(x))).

Лекція №3. Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда.

1. Класи чисел

Означення. Множина називається індуктивною, якщо

Приклад.

Означення. Множиною натуральних чисел N називається найменша індуктивна множина, що містить 1(1,2,3, ...).

Принцип математичної індукції. Якщо підмножина Е Nтака, що 1 Е і разом з х Е число х +1 Е, то E=N.

Означення. Об'єднання множини N, множини чисел, протилежних N і {0} називається множиною цілих чисел Z.

Означення. Числа виду , mZ, nN називаються раціональними числами, а множину цих чисел називають множиною раціональних чиселQ.

Означення. Дійсні числа, які не є раціональними називаються ірраціональними. Загалом отримали : N ZQR

Алгебраїчне число - корінь рівняння а_охⁿ + a₁x^n-1 +... + а_n =0 a_i Q в протилежному випадку число трансцендентне.

(- трансцендентне число (1882 p.); - трансцендентне, - алгебраїчне,- ірраціональне (проблема Гілберта)).

Покажемо, що Ø

Доведемо, що існує, і- число ірраціональне.

Розглянемо дві множини X, Y такі, що ,, 1Х, 2Y- множини X і Y - не порожні.

І. Покажемо, що s² = 2.

1) Припустимо, що s² < 2. Розглянемо s+. Відомо, що , розглянемо

де

, .

Отже , прийшли до суперечності, припущення s²<2 – невірне.

2) Припустимо s² >2, тоді <s. Міркуючи аналогічно як і в попередньому прийдемо до суперечності, тобто припущення s² > 2 знову невірне.

Залишається єдине – s² =2.

II. Доведемо, що s - ірраціональне. Припустимо, що s - раціональне. Тоді за означенням нескоротний дріб.

- парне число, значить m - парне : m = 2к; ;; 2k²=n²; отже n-парне, n=2p-скоротний дріб, отже припущення невірне, тобто s - ірраціональне.