Послідовності. Лекція №9. Границя послідовності та її властивості

Нехай метричний простір. Послідовність вЕ, це функція : N→E i _n = (n)E, яку будемо позначати {_n}

Означення. Послідовність {_n} має границю = у просторіякщо: .

Якщо Е - нормований простір з нормою , то означення має вигляд:послідовність {_n} має границю =у просторі Еякщо: .

Якщо:

1. E = R , означення має вигляд: = якщо: .

2. Е = Rⁿ х=(₁,...,_n) х_k =, означення має вигляд:х= якщо:

.

Приклад. , довести, що=0.

Доведення. Розглянемо нерівність , тоді, тобто існує

для якого виконується твердження:

. Отже

Загальне визначення границі послідовності можна сформулювати в геометричному стилі.

Означення. Для будь-якого околу V точки х існує номер N(V), n>N : x_nV.

Останнє означення знадобиться коли Е - топологічний простір, але коли Е - метричний простір, то збіжність (існування границі) послідовності - властивість топологічна, а не метрична.

Приклад. Нехай E = R¹ _n = (—1)ⁿ .Тоді {_n} не має границі. Це випливає з того, що для будь-якого R¹ обираючи окіл , що не містить 1 або -1 маємо не виконання означення, тобто - не є границя .

Властивості границі.

Теорема 1. Якщо послідовність має границю у топологічному просторі Е, то вона єдина.

Доведення. Припустимо, що має дві границі вЕ - і b. За аксіомою Хаусдорфа Ø, V i W околиi b відповідно. Тодііі, що суперечитьØ. Таким чином наше припущення невірне.

Означення. Нехай n₁<n₂<… будь-яка зростаюча послідовність натуральних чисел. Частину елементів послідовності з номерами n₁, n₂, … будемо називати підпослідовністю послідовності.

Теорема 2. Нехай Е - топологічний простір, тоді для того, щоб мала границю необхідно і достатньо, щоб будь-яка підпослідовність послідовностімала границю причому одну і ту ж.

Доведення слідує з означення границі. (Провести самостійно).

Теорема 3. Нехай Е - метризований простір і послідовність збіжна вЕ, тоді множина обмежена.

Доведення. Нехай .

Нехай = max((x, x₁),..., (x,x_N), ), тоді(х, х_n), тобтоналежить кулі радіуса.

Зауваження. 1. Якщо E=R¹, то збіжна послідовність означає, що існує М, таке що.

2. Якщо E=Rⁿ, то обмеженість означає, що існує М, таке що.

Теорема 4. Для того, щоб точка метризованого просторуЕ була граничною для А, необхідно і достатньо, щоб

Доведення.

Достатність. У випадку виконання умови для будь-якого околу V точки ,V містить точки послідовності, тобто точки А, отже — гранична точка для А.

Необхідність. Нехай А'.Розглянемо кулю з центром у точці радіуса . У ній існує_nА,.Послідовність .

Лекція №10 Послідовності в r1 та в Rn

1. Властивості пов’язані з діями над послідовностями дійсних чисел.

Нижче розглянемо властивості числових послідовностей, тобто послідовностей таких, що

Теорема. Нехай і, тоді- збіжні і,=,=.

Доведення. Доведемо рівність =. Оскількимає границю, тоМ,.

Маємо:

Отже =.

Доведення інших рівностей провести самостійно.

Приклад. Обчислити .

===

Означення. Послідовність - нескінченно мала, якщо=0:.

Властивості:

1. Скінчена сума нескінченно малих послідовностей — нескінченно мала послідовність.

1. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність - нескінченно мала послідовність.

Означення. Послідовність - нескінченно велика, якщо.

Властивості.

1. Послідовність, обернена до нескінченно малої є нескінченно велика.

1. Послідовність обернена до нескінченно великої є нескінченно мала.

Доведення властивостей нескінченно малих та великих послідовностей слідує з означеної вище властивості та означення границі.