2. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора.

Наступна властивість стосується тільки метричних просторів.

Означення. Нехай Е і F - метричні простори з метриками . Відображеннярівномірно неперервне наЕ, якщо таких, щовиконується

З рівномірної неперервності випливає неперервність, але обернене твердження невірне.

Приклад. .,при.

Маємо: , отже функція не задовольняє означенню рівномірної неперервності, але, згідно властивостям неперервних функцій, буде неперервною на Е.

Теорема Кантора. Будь-яке неперервне відображення компактного метричного простору Е в метричний простір F рівномірно неперервне.

Доведення. Нехай відображення не є рівномірно неперервне, тобто , але Покладемо,, тоді , щоіРозглянемо послідовність, тоді вона має збіжну підпослідовність в силу компактностіЕ, нехай це вона сама ж, тобто в Е. Тоді . Дійсно,. Але в силу неперервностів точціматимемо, при. Отримали суперечність, отже, наше припущення невірне. Відображення- рівномірно неперервне.

У випадку ітеорема має вигляд:

Теорема (Кантора) . Нехай , тоді якщо- неперервна на[], то воно рівномірно неперервне.

Теорема. Нехай визначена і неперервна на замкненій обмеженій множині вRⁿ, тоді рівномірно неперервна.

Лекція № 15 Зв'язні простори. Теорема Больцано-Коші в r1. Існування і неперервність оберненої функції для строго монотонної неперервної функції.

1. Означення. Неперервні відображення зв'язаних просторів.

Простори можуть становити дещо ціле (куля, Rⁿ), а можуть складатися з декількох частин (об’єднання двох сфер). В зв’язку з цим домовимося про деяку термінологію.

Означення. Топологічний простір називається зв'язаним, якщо його не можна розбити на дві відкриті (замкнуті) підмножини, які не перетинаються, або якщо в Е не існує одночасно відкритої і замкненої множини крім Е та Ø.

Теорема. Для того, щоб підмножина була зв'язним топологічним простором, необхідно і достатньо, щоб вона була відкритим, напіввідкритим, або замкненим інтервалом (можливо і нескінченним).

Доведення.

Необхідність. Нехай Е - зв'язна підмножина R¹, а . Покажемо, що . Якщо це не так, тo і. Тоді відкриті множини таперетинаються зЕ, ділять Е на дві відкриті множини, які не перетинаються. Отже, множина Е - не зв'язна. Якщо , то Е співпадає з (деможливо і нескінченні).

Достатність випливає з означення.

Наслідок. Множина Q - не зв'язна.

Теорема. Образ зв'язного топологічного простору при неперервному відображені є зв'язним.

Доведення. Нехай ,. Покажемо зв'язність F.

Якщо б було незв'язним, то - відкриті.Ø.іØØ,Ø – відкриті,

Ø- незв'язаний простір, що й доводить теорему.

Наслідок. Якщо неперервна функція визначена на зв'язному просторіЕ, із значеннями в R¹, то множина її значень є відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом в R¹.

Таким чином виконуються теореми:

Теорема (Больцано-Коші) 1. Нехай функція і неперервна ната, то , що.

Теорема (Больцано-Коші) 2. Нехай функція і неперервна ната, тоді між А і В, що.

Властивість проміжних значень (необхідна умова неперервності функції на відрізку ).

Неперервна на відрізку функція своїми значеннями заповнює деякий відрізок.

Приклад того, що ця умова не є достатньою: функція має розрив у2-го роду, але значеннями заповнює відрізок.