1. Додатні ряди.

Означення. Ряд називається додатнім, якщо.

Теорема. Для того, щоб додатній ряд був збіжним необхідно і достатньо, щоб послідовність частинних сум була обмежена зверху.

Доведення теореми випливає з теореми про границю монотонної послідовності та того, що - зростаюча.

Теорема порівняння. Нехай , додатні ряди. Якщо , то із збіжності ряду слідує збіжність ряду а із розбіжності ряду слідує розбіжність ряду .

Доведення. Позначимо , а. За умовою теореми,. Якщо рядзбігається, то за попередньою теоремою- обмежена зверху, тоді і послідовність- обмежена зверху (за нерівністю) отже, ряд- збігається.

Нехай ряд - розбігається, тодіне обмежена зверху, тодітеж не обмежена зверху і рядрозбіжний.

Ознака Д’аламбера. Нехай - додатний ряд і , то ряд збіжний, а якщо , торяд розбіжний.

Доведення. За умовою. Ряд - збіжний () отже і- збіжний.

Якщо , то послідовність зростаюча і, то, отже ряд- розбігається.

Наслідок. Нехай - додатний ряд і існує .

Якщо q< 1 - ряд збіжний;

q>1 – ряд розбіжний.

Довести самостійно.

Ознака Коші. Нехай - додатний ряд і , то ряд збіжний, а якщо , торяд розбіжний.

Доведення аналогічне доведенню ознаки Д’аламбера.

Наслідок. Нехай - додатний ряд і існує .

Якщо q< 1 - ряд збіжний;

q>1 – ряд розбіжний.

2. Знакозмінні ряди.

Означення. Ряд виду - знакозмінний ряд.

Ознака Лейбніца. Для того, щоб знакозмінний ряд був збіжним достатньо щоб: 1. ;

2. .

Доведення., оскільки, то, отже - зростаюча послідовність. Крім того, - обмежена зверху.

Таким чином за теоремою про монотонну послідовність має границю, яку позначимо. Оскільки , то має границю, оскільки послідовності відповідно збігаються до і 0. Отже послідовністьмає границю(оскільки дві її підпослідовності з парними та непарними номерами збігаються до однієї границі).

Наприклад. Ряд – збіжний.

3. Абсолютно збіжні ряди.

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збіжний ряд .

Теорема. Якщо ряд збіжний абсолютно, то він збіжний в звичайному смислі.

Доведення. Доведення випливає з ознаки Коші, оскільки виконується , та ознака Коші для ряду.

Означення. Якщо ряд збіжний, але не збіжний абсолютно, то він називається умовно збіжним.

Наприклад. – умовно збіжний.

Самостійно розглянути переставну властивість збіжних рядів і добуток за Коші абсолютно збіжних рядів.

Практичне заняття № 17 Тема: Числові ряди, їх збіжність.

Основні відомості. Визначення числового ряду і його суми. Признак збіжності Коші і Д’аламбера. Необхідна умова збіжності. Теореми порівняння позитивних рядів. Гармонійний ряд. Ряд складений із членів спадної геометричної прогресії. Признак Лейбніца. Абсолютна збіжність.

Задачі. 1. Записати загальний член ряду та знайти суму.

1.1.

1.2.

1.3.

2. Дослідити збіжність рядів за допомогою критерію Коші або необхідної умови збіжності.

2.1.

2.2.

3. Дослідити збіжність рядів за допомогою теореми порівняння.

3.1.

3.2.

3.3.

4. Дослідити збіжність рядів за допомогою признаків Коші і Д’аламбера.

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

5. Довести:

5.1. 5.2.

6. Дослідити на умовну та абсолютну збіжність.

6.1. 6.2.

6.3.

Задачі для самостійного розв’язання.

Знайти суму ряду

1. 2.3.4.

5. 6.7.

8. 9.10., де- арифметична прогресія.

Дослідити збіжність рядів за допомогою критерію Коші, необхідної умови або означення.

11. 12.13.14.

Дослідити збіжність рядів за допомогою теореми порівняння.

15. 16.17.18.

19. 20.21.22.

Дослідити збіжність.

23. . 24.25.26.

27. 28.29.30.31.

32. 33.34.35.

36. 37.

38. 39.

Довести

40. 41.42.

43. , де- арифметична прогресія.

44. - збігається абсолютно. Довести, що- збігається абсолютно.

45. ,– збігаються. Довести, що- збігається абсолютно.