- •Лекційно-практичний курс
- •З математичного аналізу.
- •Частина 1. Вступ до аналізу.
- •Передмова
- •Елементи теорії множин. Лекція №1 Відношення. Функції.
- •1. Множини, дії над множинами, добуток.
- •2. Відношення. Функції. Приклади.
- •3. Образ, прообраз. Композиція
- •Практичне заняття № 1
- •Довести
- •Лекція №2. Відношення порядку. Множина дійсних чисел. Точна верхня (нижня) границя.
- •1. Відношення порядку. Верхня границя. Приклади.
- •2. Зростаючі функції.
- •3. Дійсні числа. Теорема про точну верхню границю.
- •Практичне заняття № 2 Тема: Відношення, функції. Дії над функціями
- •Лекція №3. Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда.
- •1. Класи чисел
- •2. Принцип Архімеда. Наслідки.
- •Практичне заняття №3 Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа.
- •Практичне заняття № 4 Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані.
- •Практичне заняття №5 Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності.
- •Практичне заняття №6 Тема: Принцип математичної індукції.
- •Лекція №4. Кардинальні числа.
- •1. Означення кардинального числа (потужності множини).
- •2. Теорема про множину як завгодно великої потужності.
- •3. Зчисленні множини.
- •Лекція №5. Множини потужності континуум, та їх властивості.
- •1. Потужність континуума.
- •2. Властивості потужності континуум.
- •Практичне заняття № 7 Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум.
- •Елементи топології. Лекція №6. Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини.
- •1. Метричні простори. Приклади. Шар. Сфера.
- •3. Відкриті, замкнені множини. Замикання.
- •Лекція №7. Неперервні функції. Гомеоморфізми.
- •1. Означення неперервної функції та її властивості
- •2. Гомеоморфізми.
- •Лекція №8. Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології.
- •1. Еквівалентні метрики і норми,
- •2. Топологічні простори.
- •Практичне заняття № 8 Тема: Елементи топології
- •Послідовності. Лекція №9. Границя послідовності та її властивості
- •Лекція №10 Послідовності в r1 та в Rn
- •1. Властивості пов’язані з діями над послідовностями дійсних чисел.
- •2. Теорема Вєйєрштрасса про монотонну послідовність. Число е.
- •3. Лема про три границі. Граничні переходи у нерівностях.
- •4. Топологічні добутки. Послідовності в Rn.
- •Практичне заняття №9 Тема: Границя послідовності.
- •Практичне заняття №10 Тема: Обчислення границі послідовності. Число е.
- •Лекція №11 Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі.
- •1. Границя функції. Означення по Гейне і Коші.
- •2. Чудові границі:
- •Практичне заняття №11 Тема: Границя функції
- •Практичне заняття №12 Тема: 1а, 2а чудові границі.
- •Практичне заняття №13 Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація.
- •Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах. Лекція № 13 Компактні простори. Компактні множини в r1 і Rn
- •1. Означення компактних просторів. Приклади.
- •2. Властивості і ознаки компактності.
- •3. Теорема Больцано-Вєйерштрасса.
- •Практичне заняття №14 Тема: Компактні простори
- •Лекція № 14 Властивості неперервних функцій на компактних просторах.
- •1. Теореми Вєйерштрасса. Їх трактування в r1 і Rn.
- •2. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора.
- •Лекція № 15 Зв'язні простори. Теорема Больцано-Коші в r1. Існування і неперервність оберненої функції для строго монотонної неперервної функції.
- •1. Означення. Неперервні відображення зв'язаних просторів.
- •2. Теорема про обернену функцію
- •Практичне заняття № 15 Тема: Зв’язні множини. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність.
- •Лекція № 16 Означення та неперервність елементарних функцій.
- •1. Степенева функція.
- •2. Показникова функція.
- •3. Логарифмічна функція.
- •2. Ознаки Коші для границі послідовності і функції в r1. Повнота r1, Rn.
- •Практичне заняття № 16 Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку.
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лекція №18. Початкові відомості про ряди. Числові ряди.
- •1. Додатні ряди.
- •2. Знакозмінні ряди.
- •3. Абсолютно збіжні ряди.
- •Практичне заняття № 17 Тема: Числові ряди, їх збіжність.
- •Література
Елементи топології. Лекція №6. Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини.
1. Метричні простори. Приклади. Шар. Сфера.
Означення. На множині Е задана метрика : якщо визначена функція
: і виконуються умови:
1. ,
2. ,
3.
Пара називається метричним простором.
Приклади.
1.
2. - евклідова метрика, або природня метрика (приклад 1 маємо при);
3. Е – довільна множина, (дискретна метрика);
4. Метрика фізичного простору-часу.
Означення. Сферою з центром радіуса R > 0 називається множина
Означення. Відкритою (замкнутою) кулею з центром радіуса R>0 називається множина
Приклади.
1. R: куля – інтервал (-R, +R).
2. R2: куля – звичайне коло з центром у відповідній точці радіуса R.
Означення. Підмножина А Еметричного простору (Е,)називається обмеженою, якщо існує куля в якій вона міститься.
Приклад.
Множина R і NRне обмежені у метриці приклада 1. Але якщо метрика дискретна, то обмежені.
2. Нормовані простори.
Нехай Е - векторний простір над полем дійсних або комплексних чисел.
Означення. Нормою у векторному просторі Е називається будь-яка функція , для якої виконуються умови:
1.
2.
3.
Означення. Якщо у векторному просторі Е задана норма, то Е - нормований векторний простір.
Приклади.
1. 2..
3. 4.
5.ЯкщоЕ - нормований простір, то в ньому можна визначити відстань Де задовольняє умовам: і. Навпаки, якщо задовольняє зазначеним властивостям, то відстань задається нормою . (Довести самостійно)
В інших випадках у метричному просторі відстань не обов'язково задається нормою. В нормованому просторі куля і сфера з центром в мають вигляд і .
Означення. Відрізком з кінцями іb у векторному просторі називається множина усіх точок виду t+(1-t)b,і позначають.
3. Відкриті, замкнені множини. Замикання.
Означення. Підмножина А метричного простору називається відкритою, якщо разом з кожною своєю точкою вона містить деяку відкриту кулю з центром у цій точці.
Приклад.
1. Довільний інтервал, якщо .
2. Якщо E=R2 - прямокутник без границь.
3. Відкриті кулі у довільному метричному просторі
Властивості відкритих множин:
1. Множини Е і Ø - відкриті.
2. - відкрите, якщо Aі відкриті.
3. - відкрите, якщоАі відкриті.
Доведемо властивість 2. (Доведення 1, 3 самостійно). Нехай тодідля всіх і=1,…, n. При кожному іОтже- куля з центромрадіусаі. Таким чином оскількидовільна точка,- множина відкрита.
4. Аксіома Хаусдорфа. Для будь-яких і bіснує дві відкриті непересічні підмножини А, В, що включаютьі b відповідно.
Дійсно, А =А, В -відкриті і не мають спільних точок, в протилежному випадку, якщо , що невірно.
Означення. Множина В - замкнена в Е, якщо Е \ В = СВ — відкрита.
Приклади.
1. .
2. .
3. Замкнена куля у довільному метричному просторі.
4. Скінчена кількість точок у довільному метричному просторі.
Властивості замкнених множин.
1. Множини Е, Ø - замкнені;
2. - замкнена, якщо Ві – замкнені;
3. - замкнена, якщо Ві – замкнені;
Доведення провести самостійно.
Зауваження. Існують підмножини, що не є ні замкненими ні відкритими.
Наприклад:
Означення. Околом точки Еназивається довільна підмножина Е, яка містить точку разом з деякою відкритою кулею з центром в .
Теорема. Для того, щоб підмножина А простору була відкритою необхідно і достатньо, щоб вона була околом кожної своєї точки .
Доведення. Нехай А - окіл кожної своєї точки. Тоді разом з точкою А містить кулю з центром в . Тоді, А - відкрита множина. Навпаки, якщо А - відкрита множина і А, тоіснує відкрита куля з центром в , який міститься в А, значить, А - окіл точки .
Означення. Замиканням підмножиниА називається перетин усіх замкнених підмножин Е, які містять А.
- замкнена (за властивістю замкнених множин).
- мінімальна замкнена множина, що містить А.
Приклад: .
Означення. Точка Еназивається граничною точкою підмножини А, якщо у будь-якому околі точки є точки множини А, відмінні від .
Теорема. Замкнена множина містить усі свої граничні точки.
Доведення. Нехай - гранична точка для множини В. Припустимо, що -відкрита множина. Тоді існує відкрита куля з центром в , що належить СВ, тобто не має спільних точок з В. Прийшли до суперечності, отже, замкнена множина містить усі свої граничні точки.
Теорема. одержується з А шляхом приєднання до А її граничних точок. (Доведіть самостійно)
Нижче - множина граничних точок множини А.