- •Лекційно-практичний курс
- •З математичного аналізу.
- •Частина 1. Вступ до аналізу.
- •Передмова
- •Елементи теорії множин. Лекція №1 Відношення. Функції.
- •1. Множини, дії над множинами, добуток.
- •2. Відношення. Функції. Приклади.
- •3. Образ, прообраз. Композиція
- •Практичне заняття № 1
- •Довести
- •Лекція №2. Відношення порядку. Множина дійсних чисел. Точна верхня (нижня) границя.
- •1. Відношення порядку. Верхня границя. Приклади.
- •2. Зростаючі функції.
- •3. Дійсні числа. Теорема про точну верхню границю.
- •Практичне заняття № 2 Тема: Відношення, функції. Дії над функціями
- •Лекція №3. Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда.
- •1. Класи чисел
- •2. Принцип Архімеда. Наслідки.
- •Практичне заняття №3 Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа.
- •Практичне заняття № 4 Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані.
- •Практичне заняття №5 Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності.
- •Практичне заняття №6 Тема: Принцип математичної індукції.
- •Лекція №4. Кардинальні числа.
- •1. Означення кардинального числа (потужності множини).
- •2. Теорема про множину як завгодно великої потужності.
- •3. Зчисленні множини.
- •Лекція №5. Множини потужності континуум, та їх властивості.
- •1. Потужність континуума.
- •2. Властивості потужності континуум.
- •Практичне заняття № 7 Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум.
- •Елементи топології. Лекція №6. Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини.
- •1. Метричні простори. Приклади. Шар. Сфера.
- •3. Відкриті, замкнені множини. Замикання.
- •Лекція №7. Неперервні функції. Гомеоморфізми.
- •1. Означення неперервної функції та її властивості
- •2. Гомеоморфізми.
- •Лекція №8. Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології.
- •1. Еквівалентні метрики і норми,
- •2. Топологічні простори.
- •Практичне заняття № 8 Тема: Елементи топології
- •Послідовності. Лекція №9. Границя послідовності та її властивості
- •Лекція №10 Послідовності в r1 та в Rn
- •1. Властивості пов’язані з діями над послідовностями дійсних чисел.
- •2. Теорема Вєйєрштрасса про монотонну послідовність. Число е.
- •3. Лема про три границі. Граничні переходи у нерівностях.
- •4. Топологічні добутки. Послідовності в Rn.
- •Практичне заняття №9 Тема: Границя послідовності.
- •Практичне заняття №10 Тема: Обчислення границі послідовності. Число е.
- •Лекція №11 Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі.
- •1. Границя функції. Означення по Гейне і Коші.
- •2. Чудові границі:
- •Практичне заняття №11 Тема: Границя функції
- •Практичне заняття №12 Тема: 1а, 2а чудові границі.
- •Практичне заняття №13 Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація.
- •Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах. Лекція № 13 Компактні простори. Компактні множини в r1 і Rn
- •1. Означення компактних просторів. Приклади.
- •2. Властивості і ознаки компактності.
- •3. Теорема Больцано-Вєйерштрасса.
- •Практичне заняття №14 Тема: Компактні простори
- •Лекція № 14 Властивості неперервних функцій на компактних просторах.
- •1. Теореми Вєйерштрасса. Їх трактування в r1 і Rn.
- •2. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора.
- •Лекція № 15 Зв'язні простори. Теорема Больцано-Коші в r1. Існування і неперервність оберненої функції для строго монотонної неперервної функції.
- •1. Означення. Неперервні відображення зв'язаних просторів.
- •2. Теорема про обернену функцію
- •Практичне заняття № 15 Тема: Зв’язні множини. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність.
- •Лекція № 16 Означення та неперервність елементарних функцій.
- •1. Степенева функція.
- •2. Показникова функція.
- •3. Логарифмічна функція.
- •2. Ознаки Коші для границі послідовності і функції в r1. Повнота r1, Rn.
- •Практичне заняття № 16 Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку.
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лекція №18. Початкові відомості про ряди. Числові ряди.
- •1. Додатні ряди.
- •2. Знакозмінні ряди.
- •3. Абсолютно збіжні ряди.
- •Практичне заняття № 17 Тема: Числові ряди, їх збіжність.
- •Література
2. Ознаки Коші для границі послідовності і функції в r1. Повнота r1, Rn.
Для R1 з попередньої теореми маємо:
Теорема (Критерій Коші). Для того, щоб {} мала кінцеву границю необхідно і достатньо, щоб .
Аналогічна властивість справедлива в Rn.
Критерій Коші для границі функції:
Теорема. Нехай ():R1R1, тоді для того, щоб вона мала границю при необхідно і достатньо, щоб
Доведення провести самостійно.
Аналогічна властивість справедлива для():RnR1 (сформулювати самостійно).
3. Теорема про нерухому точку.
Означення. Відображення , де Е - метричний простір, називається стискаючим відображенням, якщо що для.
Наприклад: гомотетія з коефіцієнтом k < 1.
Легко бачити, стискаюче відображення - рівномірно неперервне відображення.
Означення. Точка називається нерухомою точкою, якщо.
Теорема. Кожне стискаюче відображення повного метричного простору в себе має нерухому точку, і до того ж єдину.
Доведення. Покажемо єдність: нехай такі, що ,- це можливе коли (оскількиk<1).
Покажемо існування нерухомої точки. Нехай довільна точка . Покладемо
,… . Покажемо, що {} - послідовність Коші.
Припустимо, що . Тоді
. Отже при, так як
Таким чином, {} - послідовність Коші і значить прямує до деякого . В силу неперервності() отримуємо: , тобто- нерухома точка.
Зауваження. Оцінка дає швидкість збіжностідо.
Практичне заняття № 16 Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку.
1. Повні простори. Ознака Коші.
1.1. Довести що збіжна послідовність є послідовністю Коші.
1.2. Послідовність Коші у метричному просторі обмежена.
1.3. Довести повноту за означенням.
1.4. Довести ознаку Коші для границі функції.
1.5. За ознакою Коші довести, що послідовність збіжна:
1. 2..
2. Теорема про нерухому точку.
2.1. Довести, що стискаюче відображення - рівномірно неперервне.
2.2. Довести, що рівняння на відрізкумає тільки один корінь.
2.3. Довести, що відображення сжимаюче та знайти точку нерухомості послідовним наближенням.
2.4. Нехай , за теоремою про нерухому точку, довести що існуєі знайти його.
Завдання для самостійної роботи
1. Якщо послідовність Коші має граничну точку, то вона збігається до неї.
2. Розглянемо метричний простір . Довести, за означенням, що Е не є повним.
3. За ознакою Коші довести збіжність послідовності .
4. За ознакою Коші довести збіжність послідовності .
5. Нехай А і В – повні підпростори метричного простору Х. Довести, що - повні.
6. Нехай Х і Y повні метричні простори з метриками івідповідно. Довести, щоз метрикоютеж повний простір.
7. Довести, що рівняння на відрізкумає тільки один корінь.
8. Нехай . Довести за допомогою теореми про нерухому точку, щоіснує і знайти його.
9. Знайти границю послідовності (скористатися задачею 9).
10. Довести, що відображення сжимаюче та знайти точку нерухомості, розв’язуючи відповідну систему рівнянь.
Лекція №18. Початкові відомості про ряди. Числові ряди.
Нехай дана числова послідовність .
Означення. Символ називається рядом.
Позначимо n - частинну суму.
Означення. Границя послідовності частинних сум називаєтьсясумою ряду.
Приклад. 1. .
2. 1-1+1-1+... , - не існує.
Критерій Коші. Ряд збіжний тоді і тільки тоді, коли
Доведення випливає з ознаки Коші для послідовності.
Наслідок 1. Якщо ряд збіжний, то .
Наслідок 2. Збіжність ряду не залежить від кінцевого числа доданків.
Приклад. Гармонічний ряд розбігається.
Дійсно отже дляікритерій Коші не виконується, тобто ряд розбіжний.