II уровень

2.1.Для приема зачета преподаватель использовал 60 задач: 30 задач по интегральному исчислению, 20 по дифференциаль­ным уравнениям и 10 по теории вероятностей. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся ему наугадза­дачу. Найдите вероятность сдачи зачета студентом, если он умеет решать 18 задач по интегральному исчислению, 15 задач по диф­ференциальным уравнениям и 8 задач по теории вероятностей.

2.2.Группа спортсменов состоит из 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,8, для велосипедиста – 0,85 и для бегуна – 0,7. Найдите вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнил норму.

2.3. Из 60 деталей изготовлены: в первом цехе 28, во втором –20, а остальные – в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,7. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества.

2.4.Предположим, что 5 % мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найдите вероятность того, что этот человек:

1) мужчина; 2) женщина.

2.5.Имеются две одинаковые урны. Первая содержит 2 черных и 3 белых шара, вторая – 2 черных и 1 белый шар. Сначала произвольно выбирают урну, а затем из нее наугад извлекают один шар. Найдите вероятность того, что будет выбран белый шар.

2.6.При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеванийH₁иH₂. Их вероятности в данных условиях:Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или отрицательная реакция. В случае болезниH₁вероятность положительной реакции равна 0,9, отрицательной – 0,1; в случаеH₂положительная и отрицательная реакции равновероятны. Анализ произвели дважды, и оба раза реакция оказалась отрицательной (событиеA). Найдите вероятность каждого заболевания после проделанных анализов.

2.7.Стрельба с самолета по самолету может производиться с трех различных дальностей: 800, 600 и 400 м. Вероятность того, что стрельба производится с дальности 800 м, равна 0,2; с даль­ности 600 м – 0,3; с дальности 400 м – 0,5. Вероятность события самолета с дальности 800 м равна 0,1; с дальности 600 м – 0,2; с дальности 400 м – 0,4. Произведена стрельба, в результате которой самолет сбит. Найдите вероятность того, что стрельба производилась с дальности 400 м.

2.8. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

III уровень

3.1.По самолету производятся три одиночных выстрела. Ве­роятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором –0,5, при третьем – 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

3.2.Имеются пять урн. В двух урнах по два белых шара и одному черному. Одна урна содержит 10 черных шаров, еще две урны – по три белых шара и одному черному. Наугад выбирается урна, а из нее наугад выбирается шар. Найдите вероятность, что наудачу извлечен белый шар.

3.3.Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найдите вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

3.4.В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых;во второй урне – 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взяли один шар. Найдите вероятность того, что взяли белый шар.

3.5. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найдите вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель пер­вым, вторым и третьим орудиями соответственно равны

3.6.Из 20 учеников, пришедших на экзамен, 8 подготовлены отлично, 6 – хорошо, 4 – посредственно и 2 – плохо. В экзаменаци­онных билетах имеются 40 вопросов. Ученик, подготовленный отлично, знает все вопросы, хорошо – 35 вопросов, посредственно – 25 и плохо – 10 вопросов. Некоторый ученик ответит на все три вопроса билета. Найдите вероятность того, что он подготовлен:

1) хорошо; 2) плохо.

3.7.Имеются три партии деталей по 30 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 30, 25, 20. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь воз­вращают в партию и вторично из той же партии наудачу извле­кают деталь, которая также оказывается стандартной. Найдите вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

3.8.В первой урне находятся 2 белых и 8 черных шаров, во второй – 4 белых и 5 черных. Из первой урны наудачу пере­ложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар. Найдите:

1) вероятность того, что этот шар белый;

2) вероятность того, что шар, взятый из второй урны, оказался белым;

3) вероятность того, что из первой урны во вторую были пере­ложены 2 белых шара.