Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ / Часть 6 / 31-32. Теория вероятностей. Математическая статистика.doc
Скачиваний:
309
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
5.3 Mб
Скачать

I уровень

1.1. В дополнительной регулировке нуждаются 15 % изделий, выпускаемых данным предприятием. Наудачу отобрано 200 изделий. Найдите среднее значение и дисперсию случай­ной величины Х – числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.

1.2.Найдите среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 30 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найдите дисперсию числа успехов в данном опыте.

1.3.Проверяется партия из 15 000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найдите ма­тематическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии.

1.4.Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равно 0,4. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ– числа произведенных выстрелов, считая, что стрелять можно неограниченное число раз.

1.5.Про случайную величинуХизвестно, что она имеет равномерное распределение на отрезке [3; 8]. Найдите:

1) f(x); 2)М(х) и(х); 3)

1.6.Случайная величинаХраспределена на отрезке [4; 12] с постоянной плотностью. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ, а также

1.7.Найдите плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр = 6.

1.8.Случайная величинаХраспределена по показательному закону с параметром = 0,4. Найдите дифференциальную и ин­тегральную функции распределения (т. е.f(x) иF(x)),(х), а так­же вероятность попадания значений случайной величиныХв интервал (0,25; 5).

1.9.Найдите параметрпоказательного распределения:

1) заданного плотностью f(x) = 0 при x < 0, при

2) заданного функцией распределения F(x) = 0 приx < 0 ипри

1.10.Пусть случайная величинаХраспределена по нормаль­ному закону с параметрами a = 30 и   = 10. Найдите вероятность того, чтоХпримет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).

1.11.Пусть случайная величинаХраспределена по нормальному закону с параметрамиa = 20 и  = 10. Найдите

1.12.Рост взрослой женщины является случайной величи­ной, распределенной по нормальному закону с параметрами:a = 164 см,  = 5,5 см. Найдите плотность вероятностей.

1.13.Случайная величинаХраспределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, чтоХпримет значение, принадлежащее интервалу(–2; 3).

1.14.Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами:a = 375 г, = 25 г. Найдите вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

1.15.Диаметр детали, изготовленной цехом, является слу­чайной величиной, распределенной по нормальному закону. Ее дисперсия равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

II уровень

2.1. Производятся 3 независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события посто­янна и равнаp. ПустьХ– число появлений событияAв этом опыте. НайдитеD(х), если известно, чтоМ(х) = 2,1.

2.2.Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Определите, сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80 попаданий в цель.

2.3.Проверяется партия из 20 000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найдите:

1) математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии;

2) вероятность того, что в партии есть хотя бы одно бракованное изделие.

2.4.Дискретная случайная величинаХраспределена по за­кону Пуассона с параметромa = 0,324. Найдите математическое и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

2.5.В магазин отправлены 2000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разби­той, равна 0,0015. Найдите:

1) среднее число разбитых бутылок;

2) вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

2.6.Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ– числа произведенных выстрелов, считая, что в наличии есть всего 6 патронов.

2.7.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величиныХимеет вид:

Найдите A, F(x), M(X), D(X), (X), P{X  [0; 1,1]}.

2.8.Автобусы некоторого маршрута идут строго по распи­санию. Интервал движения – 6 мин. Найдите вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очеред­ной автобус менее 4 мин.

2.9. Случайная величина Х, которая равна длительности рабо­ты элемента, имеет плотность распределения Найдите:

1) среднее время работы элемента;

2) вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.

2.10. Студент помнит, что плотность показательного распре­деления имеет вид приприОднако он забыл, чему равна постояннаяC. Найдите C.

2.11.Считается, что изделие – высшего качества, если от­клонение его размера от номинала не превосходит по абсолют­ной величине 3,6 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со среднеквадра­тичным отклонением, равным 3 мм. Систематические отклоне­ния отсутствуют. Определите среднее число изделий высшего качества, если изготавливается 100 изделий.

2.12.Математическое ожидание показательно распределен­ной случайной величиныХравноМ(х) = 5. Найдите вероятностьР(х) > 5.

2.13.Значения веса пойманной рыбы подчиняются нормаль­ному закону распределения с параметрамиa = 375 г, = 25 г. Найдите вероятность того, что вес одной рыбы будет:

1) от 300 до 425 г; 2) больше 300 г.

2.14.Случайная величинаXраспределена нормально с математическим ожиданиемa= 10. Вероятность попаданияХв интервал (10; 20) равна 0,3. Найдите вероятность попаданияХв интервал (0; 10).

2.15.Плотность вероятностей нормально распределенной случайной величиныХимеет вид:

Найдите:

1) коэффициент cи параметр

2) функцию распределения F(x);

3) вероятность попадания случайной величины Хв промежуток [2; 5].