- •31. Теория вероятностей
- •31.1. Основные понятия теории вероятностей.
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •31.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •31.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •31.4. Повторение испытаний
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •31.5. Дискретные случайные величины. Функция
- •I уровень
- •II уровень
- •31.6. Непрерывные случайные величины
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •31.7. Основные законы распределения
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •31.8. Функция одного случайного аргумента
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •31.9. Функция двух случайных аргументов
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •31.10. Закон больших чисел
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •32. Математическая статистика
- •32.1. Основные понятия математической
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •32.2. Точечные и интервальные оценки
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •32.3. Статистическая проверка
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •32.4. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •32.5. Элементы теории корреляции. Выборочное
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1. В дополнительной регулировке нуждаются 15 % изделий, выпускаемых данным предприятием. Наудачу отобрано 200 изделий. Найдите среднее значение и дисперсию случайной величины Х – числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.
1.2.Найдите среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 30 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найдите дисперсию числа успехов в данном опыте.
1.3.Проверяется партия из 15 000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии.
1.4.Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равно 0,4. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ– числа произведенных выстрелов, считая, что стрелять можно неограниченное число раз.
1.5.Про случайную величинуХизвестно, что она имеет равномерное распределение на отрезке [3; 8]. Найдите:
1) f(x); 2)М(х) и(х); 3)
1.6.Случайная величинаХраспределена на отрезке [4; 12] с постоянной плотностью. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ, а также
1.7.Найдите плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр = 6.
1.8.Случайная величинаХраспределена по показательному закону с параметром = 0,4. Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения (т. е.f(x) иF(x)),(х), а также вероятность попадания значений случайной величиныХв интервал (0,25; 5).
1.9.Найдите параметрпоказательного распределения:
1) заданного плотностью f(x) = 0 при x < 0, при
2) заданного функцией распределения F(x) = 0 приx < 0 ипри
1.10.Пусть случайная величинаХраспределена по нормальному закону с параметрами a = 30 и = 10. Найдите вероятность того, чтоХпримет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).
1.11.Пусть случайная величинаХраспределена по нормальному закону с параметрамиa = 20 и = 10. Найдите
1.12.Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами:a = 164 см, = 5,5 см. Найдите плотность вероятностей.
1.13.Случайная величинаХраспределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, чтоХпримет значение, принадлежащее интервалу(–2; 3).
1.14.Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами:a = 375 г, = 25 г. Найдите вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.
1.15.Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Ее дисперсия равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.
II уровень
2.1. Производятся 3 независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события постоянна и равнаp. ПустьХ– число появлений событияAв этом опыте. НайдитеD(х), если известно, чтоМ(х) = 2,1.
2.2.Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Определите, сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80 попаданий в цель.
2.3.Проверяется партия из 20 000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найдите:
1) математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии;
2) вероятность того, что в партии есть хотя бы одно бракованное изделие.
2.4.Дискретная случайная величинаХраспределена по закону Пуассона с параметромa = 0,324. Найдите математическое и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.
2.5.В магазин отправлены 2000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,0015. Найдите:
1) среднее число разбитых бутылок;
2) вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
2.6.Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ– числа произведенных выстрелов, считая, что в наличии есть всего 6 патронов.
2.7.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величиныХимеет вид:
Найдите A, F(x), M(X), D(X), (X), P{X [0; 1,1]}.
2.8.Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения – 6 мин. Найдите вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 4 мин.
2.9. Случайная величина Х, которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения Найдите:
1) среднее время работы элемента;
2) вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.
2.10. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид приприОднако он забыл, чему равна постояннаяC. Найдите C.
2.11.Считается, что изделие – высшего качества, если отклонение его размера от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,6 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со среднеквадратичным отклонением, равным 3 мм. Систематические отклонения отсутствуют. Определите среднее число изделий высшего качества, если изготавливается 100 изделий.
2.12.Математическое ожидание показательно распределенной случайной величиныХравноМ(х) = 5. Найдите вероятностьР(х) > 5.
2.13.Значения веса пойманной рыбы подчиняются нормальному закону распределения с параметрамиa = 375 г, = 25 г. Найдите вероятность того, что вес одной рыбы будет:
1) от 300 до 425 г; 2) больше 300 г.
2.14.Случайная величинаXраспределена нормально с математическим ожиданиемa= 10. Вероятность попаданияХв интервал (10; 20) равна 0,3. Найдите вероятность попаданияХв интервал (0; 10).
2.15.Плотность вероятностей нормально распределенной случайной величиныХимеет вид:
Найдите:
1) коэффициент cи параметр
2) функцию распределения F(x);
3) вероятность попадания случайной величины Хв промежуток [2; 5].