31.9. Функция двух случайных аргументов

Рассмотрим систему двух случайных величин (X,Y). Если каждой паре (x,y) возможных значений случайных величинХиYсоответствует одно возможное значение, вычисляемое по определенному закону, случайной величиныZ, тоZназываютфункцией двух случайных аргументов X и Y:

Для практики важное значение имеет задача определения закона распределения суммы двух случайных величин: Z = X + Y.

Пусть ХиY– дискретные независимые случайные величины. Чтобы найти распределение функцииZ = X + Y, надо найти все возможные значенияZ. Для этого достаточно сложить каждое возможное значениеХсо всеми возможными значениямиY. Вероятности найденных значенийZравны произведениям вероятностей складываемых значенийХиY.

Если ХиY– непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределенияg(z) суммыZ = X + Y(при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервалеодной формулой) может быть найдена по формуле

или по равносильной формуле

где f₁,f₂– плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величиныZ = X + Yнаходят по формуле

(31.17)

или по равносильной формуле

(31.18)

Формулы (31.17) и (31.18) называют формулами свертки, илиформулами композиции двух распределений, а функциюg(z) –сверткой функцийf₁(х) иf₂(х); закон распределения сум­мыZ = X + Yдвух независимых случайных величин называюткомпозицией (сверткой)законов распределения слагаемых.

Если обе плотности f₁(х) иf₂(у) заданы на конечных интервалах, то для отыскания плотностиg(z) величиныZ = X + Yцелесообразно сначала найти функцию распределенияG(z), а затем – плотность распределенияg(z):

Если ХиY– независимые случайные величины, заданные соответственно плотностями распределенияf₁(х) иf₂(х), то вероятность попадания случайной точки (X;Y) в областьDнаходят по формуле

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

Х	1	3		Y	2	4
P	0,2	0,8		P	0,4	0,6

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 3, достаточно, чтобы величина X приняла значение x₁ = 1 и величина Y – значение y₁ = 2. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,2 и 0,4. Так как аргументы Х и Y независимы, то события X = 1 и Y = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления по теореме умножения равна

Аналогично найдем:

Напишем искомое распределение, предварительно сложив вероятности несовместных событий

Z	3	5	7
P	0,08	0,44	0,48

Осуществим контроль:

Пример 2. Найти закон распределения суммы Z = X + Y, если величины X и Y независимы и каждая из них распределена равномерно на отрезке [0; 1].

Решение. Имеем

и

Величина Z = X + Y принимает в этом случае значения из промежутка [0; 2], вне этого промежутка ее плотность вероятностей равна нулю.

При имеем:

Так как при t < 0 равен нулю первый множитель f₁(t) подынтегрального выражения, а при t > z равен нулю второй множитель заменим интервал по всей оси интервалом по отрезку [0;z].

При имеем:

При равен нулю второй множительибо тогдаприt > 1 равен нулю первый множитель f₁(t).

Таким образом,

Пример 3. Заданы плотности распределения независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y:

в интервале (0; 3), вне этого интервала

в интервале (0; 3), вне этого интервала

Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X + Y. Построить график плотности распределения g(z).

Решение. По условию, возможные значения X определяются неравенством возможные значенияY – неравенством Отсюда следует, что возможные случайные точки (X; Y) расположены в квадрате OABC (рис. 31.7).

Рис. 31.7

По определению функция распределения равна

Неравенству x + y < z удовлетворяют те точки (z; y) плоскости xOy, которые лежат ниже прямой x + y = z (эта прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки, равные z). Если же брать только возможные значения x и y, то неравенство x + y < z выполняется только для точек, лежащих в квадрате OABC ниже прямой x + y = z.

С другой стороны, так как величины Х и Y независимы, то

где S – величина той части площади квадрата OABC, которая лежит ниже прямой x + y = z.

Очевидно, величина площади S зависит от значения z.

Если тот. е.

Если то(рис. 31.7).

Если то(рис. 31.8).

Рис. 31.8

Площадь фигуры OAHKC найдена как разность между площадью квадрата OABC (которая равна 3² = 9) и площадью прямоугольного треугольника HBK, т. е.

Если z > 6, то

Таким образом, искомая функция распределения такова:

Найдем плотность распределения:

График плотности распределения g(z) изображен на рис. 31.9.

Рис. 31.9

Задания