31.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие Aможет наступить совместно только с одним из событийобразующих полную группу несовместных событий (гипотез). Тогда вероятностьпоявления события определяется поформуле полной вероятности:

(31.8)

где – вероятность гипотезы

–условная вероятность события Aпри этой гипотезе.

Формула читается так: вероятность события A равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.

Так как гипотезы образуют полную группу несовместных событий, то

Если вероятности гипотез до опыта были а в результате опыта появилось событиеA, то условная вероятностьс учетом появления событияAвычисляется поформуле Байеса:

(31.9)

Если все гипотезы до опыта имеют одинаковую вероятность формула Байеса принимает вид

(31.10)

Пример 1. Имеются пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прицела – 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение. Введем обозначения:

A – стрелок попал в цель из наудачу взятой винтовки;

H₁ – стрелок сделал выстрел из винтовки с оптическим прицелом;

H₂ – стрелок сделал выстрел из винтовки без оптического прицела.

Формула полной вероятности (31.8) в данном случае имеет вид:

Учитывая то, что

получаем:

Пример 2. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего – 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три случая: H₁ – на линию огня вызван первый стрелок, H₂ – на линию огня вызван второй стрелок, H₃ – на линию огня вызван третий стрелок.

Очевидно, что

В результате опыта наблюдалось событие A – после двух выстрелов мишень не поражена.

Условные вероятности этого события при гипотезах H₁, H₂, H₃ равны соответственно:

По формуле Байеса (31.9) находим вероятность гипотезы H₁ после опыта:

Задания

I уровень

1.1.Имеются три партии ламп по 20, 30, 50 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Найдите вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время.

1.2.С первого станка на сборку поступает 40 % изготовленных деталей, со второго – 30 % и с третьего – 30 %. Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка равна соответственно 0,01; 0,03; 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу выбранная деталь оказалась бракованной.

1.3. При механической обработке станок обычно работает в двух режимах: 1) рентабельном и 2) нерентабельном. Рентабельный режим наблюдается в 80 % всех случаев работы, нерентабельный – в 20 %. Вероятность выхода станка из строя за время t работы в рентабельном режиме равна 0,1, в нерентабельном – 0,7. Найдите полную вероятность P выхода станка из строя за время t.

1.4.В школе учатся 70 % девочек. У 85 % девочек и 75 % мальчиков есть билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Найдите вероятность того, что этот билет принадлежал:

1) девочке; 2) мальчику.

1.5.СтудентMможет заболеть гриппом (событиеA) только в результате либо переохлаждения (событиеB), либо контакта с другим больным (событиеC). Найдитееслипри условии несовместимостиBиC.

1.6.В специализированную больницу поступают в среднем60 % больных с заболеванием K, 30 % – с заболеванием L, 10 % – с заболеваниемM. Вероятность полного излечения болезниKравна 0,7; для болезнейLиMэти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найдите вероятность того, что больной, поступивший в больницу, будет выписан здоровым.

1.7.Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 65 % деталей отличного качества, а второй – 85 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найдите вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.

1.8.В специализированную больницу поступают в среднем40 % больных с заболеванием K, 50 % – с заболеванием L, 10 %– с заболеваниемM. Вероятность полного излечения болезниKравна 0,8; для заболеванийLиMэти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот больной страдал заболеваниемL.