III уровень

3.1.Экзамены по истории Беларуси и геометрии сдавали 150 студентов одного курса: 15 из них не сдали экзамен по геометрии, 10 – по истории Беларуси, а 5 человек не сдали двух экзаменов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный студент:

1) не сдал экзамен по истории и сдал экзамен по геометрии;

2) сдал экзамен по истории и не сдал экзамен по геометрии.

3.2.В урне находятся 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найдите вероятность того, что среди них имеется:

1) 2 белых шара; 2) меньше чем 2 белых шара;

3) хотя бы один белый шар.

3.3.Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времениTбезотказно соответственно с ве­роятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найдите вероятность того, что за времяTвыйдет из строя:

1) только один элемент; 2) хотя бы один элемент.

3.4.В первой урне находятся 6 белых и 4 черных шаров, а во второй урне – 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны случайно взяли 3 шара, а из второй – 2 шара. Найдите вероятность того, что среди вынутых шаров:

1) все шары одного цвета; 2) только три белых шара;

3) хотя бы один шар белый.

3.5.Определите, сколько раз нужно подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы больше

3.6. Имеются две урны. В первой находятся 1 белый шар, 3черных и 4 красных, во второй – 3 белых, 2 черных и 3 красных шара. Из каждой урны наугад извлекают по одному шару, после чего сравнивают их цвета. Найдите вероятность того, что цвета извлеченных шаров совпадают.

3.7.Консультационная фирма претендует на 2 заказа от двух корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорацииAравна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ от корпорацииA, то вероятность того, что и корпорацияBобратится к ним, равна 0,85. Найдите вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа.

3.8.В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых – 0,95, 0,9 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы:

1) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка;

2) какова вероятность того, что в течение года обанкротится хотя бы один банк?

3.9.Три студента сдают экзамен. Вероятности успешной сдачи экзамена первым, вторым и третьим студентом равны соответственно 0,85, 0,7 и 0,52. Вычислите вероятности следующих случайных событий:

1) один студент сдаст экзамен;

2) два студента сдадут экзамен;

3) хотя бы один студент сдаст экзамен.

3.10. Покупатель может приобрести акции трех компаний: A, B и C. Надежность первой оценивается экспертами на уровне 80 %, второй – 91 % и третьей – 78 %. Найдите вероятность того, что:

1) только одна компания в течение года станет банкротом;

2) две компании обанкротятся;

3) наступит хотя бы одно банкротство.

3.11.В отдел уголовного розыска поступило сообщение о том, что 5 неизвестных лиц взломали сейф кассы колхоза и похитили крупную сумму денег. Свидетели успели заметить, что грабители сели в автобус, следующий по маршруту в соседний город. Об этом стразу же была поставлена в известность милиция. Как только автобус остановился на автовокзале, к нему подошел инспектор уголовного розыска и запретил кондуктору открывать дверь автобуса. Тот сообщил инспектору, что в автобусе 40 пассажиров. Обыск может привести к значительной задержке автобуса. Инспектор успокоил кондуктора: «Мне достаточно проверить 6 пассажиров и сможете ехать дальше!» Он предложил шестерым наугад выбранным пассажирам зайти в кабинет начальника вокзала. Один преступник был сразу же обнаружен – в его кармане нашли пачку денег. Он назвал сообщников, и дело было закончено. Определите, что руководило инспектором: риск или трезвый расчет.

3.12.Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Найдите вероятности выигрыша для каждого из игроков.

3.13.Вероятность улучшения спортсменом личного достижения по прыжкам в длину равнаp. Найдите, чему равна вероятность того, что он улучшит свой результат, если ему предоставлена возможность прыгать 3 раза.

3.14.Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностьюp₁. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностьюp₂. Если истребитель этим выстрелом не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностьюp₃.

Найдите вероятности следующих исходов боя:

A– сбит бомбардировщик;

B– сбит истребитель;

C– сбит хотя бы один из самолетов.