I уровень

1.1.Трижды бросается игральная кость. Найдите вероят­ность того, что при этом ровно два раза выпадет максимальное число, т. е. 6 очков.

1.2.По мишени произведены 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найдите вероятность nпо­паданий в мишень, гдеn = 0, 1, 2, 3.

1.3. Вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найдите наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

1.4.Самолет имеет 4 двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя равна 0,95. Найдите вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном из двигателей.

1.5.В урне находятся 6 белых и 9 черных шаров. Из нее из­влекают шар, фиксируют его цвет, после чего возвращают об­ратно в урну. Указанный опыт повторяют трижды. Найдите ве­роятность того, что из трех вытащенных шаров ровно два ока­жутся белыми.

1.6.Пусть игральную кость бросают 20 раз. Найдите наи­более вероятное число выпадений грани «1».

1.7.На некотором предприятии вероятность брака равна 0,02. Обследуются 500 изделий готовой продукции. Найдите ве­роятность того, что среди них окажется ровно 10 бракованных.

1.8. Вероятность любому абоненту позвонить на коммута­торв течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает300 абонентов. Найдите вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 4 абонента.

1.9.Работница обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва пряжи на каждом из них за промежуток времениtравна 0,005. Найдите вероятность четырех обрывов.

1.10.В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка окажется исправной в течение года, равна 0,7. Найдите:

1) вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лам­почки;

2) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.

1.11.Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное изделие окажется бракованным (т. е. с от­клонением от стандарта), постоянна и равна 0,05. Найдите вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретятся ровно 40 бракованных.

1.12.Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70 %. Найдите вероятность того, что из 700 посаженных семян 500 прорастут.

1.13.Вероятность попадания в цель из скорострельного ору­дия при отдельном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но не более 230.

1.14.Вероятность наступления некоторого события в каж­дом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Найдите вероят­ность того, что числоmнаступлений события удовлетворяет не­равенству:

1) 2)

1.15.Считая, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64, найдите вероятность того, что из 2450 ламп, освещающих улицу, к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп.

1.16.Найдите вероятностьPтого, что при 8000 бросаний игральной кости частота выпадения шестерки будет отклоняться от вероятностименьше, чем на

II уровень

2.1.Для нормальной работы на линии должно быть не менее 8 автобусов, а их имеется 10. Вероятность невыхода каждого автобуса на линию равна 0,1. Найдите вероятность нормальной работы в один из дней.

2.2.При испытаниях по схеме Бернулли вероятность ровно двух успехов в трех испытаниях в 12 раз больше, чем веро­ятность трех успехов. Найдите вероятность успеха в каждом испытании.

2.3.Производятся восемь выстрелов по резервуару с горю­чим, причем первое попадание вызывает течь, а второе – воспламенение горючего. Найдите вероятность того, что резервуар будет подожжен, если вероятность попадания при одном выстреле равнаp = 0,2.

2.4.Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,9. Найдите вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного.

2.5.Всхожесть семян данного растения имеет вероятность 0,85. Найдите:

1) вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет не менее 4;

2) наиболее вероятное число прорастающих семян.

2.6.Вероятность банкротства одной из 6-ти фирм к концу года равнаp = 0,18. Найдите вероятность того, что к концу года обанкротится не более двух фирм.

2.7.В некотором производстве вероятность того, что отдельная деталь окажется бракованной, равна 0,005. Найдите вероятность того, что в партии из 10 000 изделий бракованных окажется:

1) ровно 40; 2) не более 70.

2.8.Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Найдите вероятность того, что среди 80 грибов белых будет 25.

2.9.Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найдите веро­ятность того, что четверка выпадет:

1) два раза; 2) не более восьми раз; 3) хотя бы один раз.

2.10.Завод-изготовитель отправил на базу 12 000 доброкаче­ственных изделий. Число изделий, поврежденных при транспор­тировке, составляет в среднем 0,05 %. Найдите вероятность того, что на базу поступит не более 4 поврежденных изделий.

2.11.Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в среднем 70 % студентов. Найдите вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят:

1) 160 студентов; 2) не менее 110 студентов;

3) не более 150 студентов.

2.12.Определите, сколько раз надо подбросить симметрич­ную монету, чтобы с вероятностью 0,9 частотапоявления герба отличалась от(вероятность выпадения герба) не более чем на 0,01.

2.13.Для поступления в некоторое учебное заведение необходимо успешно сдать вступительные экзамены. В среднем их выдерживают 25 % абитуриентов. Допуская, что в приемную комиссию поступило 1800 заявлений, найдите вероятность того, что хотя бы 600 поступающих успешно сдадут экзамены.

2.14.Производится 500 бросаний симметричной монеты. Определите, в каких пределах будет находиться отклонение частоты выпадения герба от 0,5 с вероятностью 0,99.

2.15.Определите, сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появления шестерки бы­ло бы 32.

2.16.Выясните, что вероятнее:

1) выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять из восьми;

2) выиграть у равносильного противника не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми.