31.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей. Если события попарно несовместны, то справедливо равенство

(31.4)

Правило нахождения вероятности противоположного события:

(31.5)

Формула сложения двух совместных событий:

(31.6)

Формула сложения трех совместных событий:

Формула сложения любого числа совместных событий:

ВероятностьсобытияВпри условии наступления событияАпо определению равна:

(31.7)

Из этого равенства, являющегося определением условной вероятности, следует формула вероятности произведения двух событий:

Теорема умножения вероятностей.Для вычисления вероятности произведенияnсобытий (n > 2) имеет место общая формула:

т. е. вероятность произведения конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них и условных вероятностей остальных событий, вычисленных при условии, что все предшествующие события произошли.

События называютсянезависимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении или не наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

В частности, если события независимы, то

Пример 1. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Найти вероятность того, что в темноте сорвут окрашенную астру, если будут рвать только одну.

Решение. Обозначим события: А – сорвана окрашенная астра; А₁ – сорвана красная астра; А₂ – сорвана синяя астра. Имеем:

Пример 2. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность выпадения хотя бы одной шестерки.

Решение. Обозначим события: А – выпадение шестерки при бросании первой кости; В – выпадение шестерки при бросании второй кости. Для решения задачи надо найти вероятность события Используем формулу (31.6).

Из условия следует, что

тогда

Пример 3. Среди партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. С целью контроля из этой партии отбираются наугад 7 изделий. Если среди них окажется более двух бракованных, то бракуется вся партия изделий. Найти вероятность того, что партия изделий будет забракована.

Решение. Партия бракуется, если среди 7 изделий бракованных будет не менее трех; партия не бракуется, если среди 7 изделий бракованных нуль, одно или два.

Обозначим события: А₀ – среди 7 изделий нет бракованных; А₁ – среди 7 изделий есть одно бракованное; А₂ – среди 7 изделий два бракованных, А – партия изделий принимается. Тогда

Поскольку события А₀, А₁, А₂ несовместны, то используем формулу (31.4) для трех слагаемых

Найдем вероятность используя классическое определение вероятности. Отобрать 7 изделий из 100 можноспособами. СобытиюА₀ благоприятствуют случаев.

Следовательно,

Аналогично находим, что

Таким образом,

Следовательно, согласно формуле (31.5), вероятность того, что партия изделий будет забракована, равна

Пример 4. Все грани игральной кости покрыты краской: грани 1, 2, 3 – красной, грани 4, 5, 6 – черной. При бросании кости выпала черная грань. Определить вероятность того, что на этой грани стоит четное число очков.

Решение. Мы должны найти условную вероятность где событиеА есть выпадение четного числа очков, а событие В – выпадение числа очков, большего 3. Используя формулу (31.7), получаем

Пример 5. Слово папаха составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешиваются. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Найти вероятность получить таким путем слово папа.

Решение. Введем обозначения для событий: А₁ – первой извлечена буква п; А₂ – второй извлечена буква А; А₃ – третьей извлечена буква П; А₄ – четвертой извлечена буква А; А – получилось слово ПАПА. Очевидно, Имеем:

Получаем ответ:

Пример 6. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень (событие D).

Решение. Пусть события A, B, C – соответственно попадание в мишень 1-го, 2-го и 3-го стрелков. Тогда Однако, лучше представитьD как событие, противоположное для (ни одного попадания):По формуле (31.5) получим ответ

Задания