III уровень

3.1.Опыт состоит в том, что стрелок произвел 3 выстрела по мишени. СобытиеA_i– попадание в мишень приi-м выстреле (i = 1, 2, 3). Выразите черезA₁,A₂иA₃следующие события:

A– хотя бы одно попадание;

B– 3 промаха;

C– 3 попадания;

D– хотя бы один промах;

E– не меньше 2 попаданий;

F– не больше одного попадания;

G– попадание в мишень после первого выстрела.

3.2.Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. СобытиеAозначает исправность рулевого устройства,B_k– исправностьk-го котла иC_i(i = 1, 2) – исправностьi-й турбины; событиеD– судно управляемое. Это происходит, если исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. ВыразитеDичерезA,B_kиC_i.

3.3.Два действительных числахиувыбираются наугад так, что сумма их квадратов меньше 100. Найдите вероятность того, чтоx² + y²окажется больше 64.

3.4.Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов неизвестно и равновозможно в течение данных суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого равно одному часу, а второго – двум часам.

3.5. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Найдите вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше

3.6.Стержень длинойLпроизвольным образом ломают на три части. Найдите вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник.

3.7.Некто забыл последние 4 цифры телефонного номера. Он запомнил, что все они разные и среди них есть 9. Определите, какое максимальное число номеров ему придется перебрать, чтобы дозвониться до абонента.

3.8.Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть выбрана из 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера – из 20 специалистов, а врач – из числа 8 медиков. Определите, сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса.

3.9.Для несения почетного караула из 10 человек могут быть приглашены офицеры авиации, погранвойск, артиллерии, морского флота, ракетных войск и воздушно-десантных войск. Определите, сколькими способами можно избрать состав почетного караула.

3.10.Из пунктаAв пунктBведут два шоссе, пересекаемые пятью поперечными дорогами. Определите, сколькими способами можно проехать из пунктаAв пунктB, не проезжая дважды одно и то же место.

3.11. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Определите, сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток.

3.12.Проверьте истинность того, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв словагипотенуза, равно числу всех возможных перестановок букв словапризма.

3.13.Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую – 5 и в третью – 12. Определите, сколькими способами мож­но это сделать.

3.14.Определите, сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных.

3.15. Три дороги соединяют города A и B, четыре дороги соединяют города B и C. Определите, сколькими способами можно совершить поездку из A в C через B и вернуться в A также через В.

3.16. Определите, сколькими способами можно в строчку написать 5 плюсов и 7 минусов.

3.17.Номер телефона состоит из 5 цифр. Найдите вероятность того, что все цифры наугад выбранного номера разные.

3.18.Найдите вероятность того, что наугад выбранное четырехзначное число составлено только из нечетных цифр.

3.19.В группе 20 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

3.20.Игральный кубик подбрасывается 10 раз. Найдите вероятность того, что при этом грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадут соответственно 1, 1, 1, 3, 2, 2 раза.

3.21.В классе 40 человек, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделили на две равные части. Найдите вероятность того, что в каждой части по 5 отличников.

3.22.Два ученика независимо друг от друга одновременно записывают на листах бумаги любое число от 1 до 9 включительно. Выигрывает первый, если сумма записанных ими одновременно чисел окажется четной, в противном случае выиграет второй. Найдите вероятность выигрыша первого ученика.

3.23.Из колоды 36 карт наудачу извлекаются три. Найдите вероятность того, что сумма очков у этих карт равна 21, если валет составляет 2 очка, дама – 3, король – 4, туз – 11, а остальные карты – соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.

3.24.Найдите вероятность того, что в компании изrчеловек хотя бы у двоих совпадут дни рождения. (Для простоты предполагается, что 29 февраля не является днем рождения).

3.25. В семье капитана дальнего плавания есть дети голубоглазые и кареглазые. Всякий раз, когда он после очередного рейса возвращается домой, первым его встречают какие-либо двое из детей. Кто именно – чистая случайность. Но в силу же той случайности в 50 % всех случаев это оказываются голубоглазые дети. Определите, сколько всего голубоглазых детей в семье капитана.