1.2.6. Точность счисления

Точность счисления зависит, естественно от погрешностей исходных данных. Как бы ни велось счисление, графически, аналитически или автоматически, его всегда можно представить вектором перемещения судна длиной S по направлению ПУ. В соответствии с этим все погрешности исходных данных можно сгруппировать на продольные – вдоль линии пути и поперечные – обусловленные погрешностями ПУ.

Продольная средняя квадратическая погрешность счисления, обусловленная такой же погрешностью m_клпринятого коєффициента лага К_ли пропорциональна плаванию S = Vt:.

Аналогично этому, поперечная средняя квадратическая погрешность счисления выражается через такие же погрешности принятых поправки компаса m_ки угла дрейфа m_:.

Средние квадратические погрешности направления m_кти скорости m_vттечения, которое учитывают (или не учитывают, но оно действует) вызывают погрешности счисления и продольные и поперечные.

Все перечисленные погрешности счисления взаимонезависимы и поэтому их совместное действие находим по правилу сложения дисперсий, что дает круговую среднюю квадратическую погрешность счисления М_с(t) за время t:

,

где: m_ГК 0,7;

m_МК1,2;

m_1,5;

m_кл1%;

m_кт15-20;

m_vт15%20%.

В течение времени счисления t (часы), пока условия плавания практически неизменны, сохраняется постоянным значение корня в последней формуле, которое обозначим К_с, а формулу представим в таком виде

,

где К_с– коэффициент точности счисления, мили/час.

При длительном счислении без коррекции погрешности исходных данных частично компенсируются при t 2 ч.

Важно помнить, что погрешность счислимого места М_см (t) складывается из погрешностей начальной точки М_ои погрешности счисления М_с (t) за время его ведения t:

.

Для оценивания коэффициента точности счисления К_спо результатам независимых от счисления определений места судна (обсерваций) используют выявляемые при этом невязки.

Невязкий называют вектор С между одновременными счислимой и обсервованной точками. Этот вектор выражают направлением относительно меридиана на обсервованную точку и длиной, например С = 235- 3,5 мили. Но для определения К_сиспользуют только длины невязок С, независимо от их направления.

Если все используемые обсервации равноточны, то

где невязки С_i и соответствующие им интервалы времени t_iсчисления между обсервациями.

При расчетах приложения к "Стандартам точности судовождения" ИМО в качестве обобщенных средних для относительных лагов принято при t 2 ч К_с= 0.3 – 0.4 мили/час; для абсолютных лагов в два раза меньше.

Погрешности счисления нарастают со временем и поэтому для обеспечения безопасности плавания счисление нуждается в контроле и коррекции по обсервациям.

1.3. Определение места судна

1.3.1. Основы определения места судна и оценка точности

Для обеспечения навигационной безопасности необходимы определения места судна, которые показывают его положение относительно опасностей и намеченного пути.

Определение места судна (обсервация) состоит в получении его координат или точки на карте по наблюдениям ориентиров.

Ориентирами называют объекты с отличительными признаками и известным положением. Ориентирами служат специально создаваемые для этого маяки, знаки, радиостанции, навигационные спутники, приметные с моря башни, церкви, заводские трубы, обелиски и др., а также естественные объекты: мысы, горы, острова, небесные светила.

Навигационным параметром называют величину, зависящую известным образом от положения точки относительно ориентиров и измеряемую для определения места судна. Примеры таких параметров: расстояние до ориентира D, высота светила h, пеленг ориентира П, разность расстояний D и т.п.

Навигационной функцией называют известную зависимость навигационного параметра от координат любой точки и ориентиров .

Для каждого из параметров такая функция имеет свое конкретное выражение.

Если параметром служит расстояние на сфере D до ориентира А с координатами Ф и Λ, а М – произвольная точка с координатами и(рис. 1.26), то из сферического треугольника АМР_Nнавигационная функция расстояния (длина ортодромии)

.

Для малых расстояний небольшой участок Земли можно считать плоским и (см. 1.2.5.)

Если навигационным параметром служит пеленг П, то из того же сферического треугольника АМР_N(рис. 1.26.) навигационная функция пеленга (азимута)

Рис. 1.26.

Для малых расстояний

Аналогично этому получают навигационные функции других параметров.

Навигационной изолинией называют геометрическое место точек равных значений навигационного параметра. Иначе говоря, для всех точек навигационной изолинии значение ее параметра одинаково (U = const).

Большинство навигационных изолиний имеют свои названия.

Изостадия – линия равных расстояний, малый круг с центром А и сферическим радиусом D_o.

Аналогично изостадии получают уравнение круга равных высот

,

центром которого служит полюс освещения светила с координатами Ф = и

Л = t_ГР и сферическим радиусом Z_o= 90- h_o.

Изопеленга или изоазимута – линия равных пеленгов П ориентира, кривая, проходящая через ориентир и ближайший полюс.

На малых расстояниях, в пределах визуальных и радиолокационных пеленгов, участок Земли можно считать плоским, изопеленги принимают вид прямой, проходящей через ориентир под углом П к меридиану.

Гипербола – линия равной разности расстояний D, измеряемой при использовании радионавигационных систем.

Изогона – линия равных значений горизонтального угла между направлениями на два ориентира. На плоскости – окружность, проходящая через эти ориентиры.

Изобата – линия равных глубин.

Линия положения (ЛП) – прямая, заменяющая участок навигационной изолинии вблизи счислимого места судна. Линией положения может быть касательная или хорда навигационной изолинии.

Определяющей точкой называют общую точку изолинии и линии положения. Касательная линия положения имеет одну такую точку, а хорда – две. Практически обе названные линии положения сливаются в одну, хотя их построение выполняется по-разному.

Если измерен только один навигационный параметр U, то его обсервованное значение позволяет составить только одно уравнение навигационной изолинии U_o= U (,). Но, как известно, по одному уравнению нельзя определить два неизвестныхи. Поэтому по измерению одного навигационного параметра определение места судна невозможно.

Для определения места судна необходимо и достаточно измерение двух навигационных параметров, изолинии которых в районе возможного нахождения судна пересекаются только в одной точке под не слишком острым углом. По соображениям о точности желательно чтобы этот угол был не менее 30.

Два – минимально необходимое число измеряемых параметров для определения места. Однако, если позволяют условия, то всегда надо выполнять дополнительные (избыточные) измерения, которые служат для контроля на промахи и для повышения точности результатов.

Положим U и V – измеряемые навигационные параметры с обсервованными значениями U_ои V_о, этому соответствует система двух уравнений навигационных изолиний:

,

которые могут быть изображены на карте (рис. 1.27.).

Аналитическое или графическое решение системы уравнений дает обсервованное место М_о, имеющее обсервованные координаты_ои_о.

Способы определения места различают в зависимости от наблюдаемых ориентиров и используемых технических средств.

Например: визуальные, радиолокационные, астрономические, по спутникам.

Рис. 1.27.

Методы определения места подразделяют в зависимости от того, как решают систему уравнений навигационных изолиний. Таких методов три: графические, аналитические и графоаналитические.

Градиенты навигационных параметров.

Оценка точности места судна.

Как следует из определения навигационной изолинии, при перемещении вдоль нее навигационный параметр остается постоянным, а при любом ином перемещении – изменяется. Общее суждение об изменении навигационного параметра в зависимости от перемещения точки дает сетка его изолиний. Так, очевидно, что параметр изменяется наиболее быстро при переходе с одной изолинии на другую по кратчайшему расстоянию между ними, которое при малых расстояниях практически совпадает с нормалью к изолинии. Если р – кратчайшее расстояние между смежными изолиниями, то отношениеU/р характеризует наибольшую скорость изменения параметра U в данном месте:

.

Градиентом навигационного параметра называется вектор g, направленный по нормали к навигационной изолинии в сторону ее смещения при положительном приращении параметра, модуль этого вектора характеризует наибольшую скорость изменения параметра в данном месте.

Градиент больше в тех местах, где гуще проходят навигационные изолинии, как это показано для трех точек А, В и С на рис. 1.28.

Из формулы (g) и определения градиента навигационного параметра следует, что размерность равна размерности параметра U, поделенной на линейную величину.

Рис. 1.28.

Для определения градиентов вместо точного равенства пользуются приближенным

,

где U – малое приращение навигационного параметра,

р - смещение навигационной изолинии.

Расстояние D. Приращение расстояния D (рис. 1.29.) обусловливает такое же смещениер изолинии и поэтому модуль градиента расстояния g_D= 1. Направлен этот градиент от ориентира, т.е.= П +180. (С - судно, А – мыс).

Высота светила h. Приращение высоты h вызывает такое же уменьшение зенитного расстояния Z, которое равно расстоянию до полюса освещения. Поэтому модуль градиента высоты светила такой же, как и расстояния: g_h = 1, а направлен градиент к светилу, т.е.= А, где А – азимут светила.

Пеленг П и обратный пеленг Прассмотрим вначале для небольших удалений от ориентира А, когда участок Земли можно считать плоским (рис.1.29).

Приращение П пеленга П обусловливает поворот линии пеленга (на рис. 1.29 повернутая линия показана пунктиром) и линейное смещение любой ее точки на величинур =П^x D, гдеП – в радианах, а D – расстояние до ориентира. Отсюда, выражаяП в градусах, получаем по формуле модуль градиента пеленга:

,

Рис. 1.29.

Как видим из рис. 1.29, направление этого градиента = П - 90.

Приращение П обратного пеленга Побусловливает такой же поворот линии пеленга и поэтому градиент для этого случая тот же, что и для пеленга. Направление градиента может быть выражено через обратный пеленг:= П+ 90.

Обсервованным навигационным параметром (U_o) называется его значение, полученное в результате измерения и исправления всеми необходимыми поправками.

Хорошо известно, что никакие измерения не могут быть абсолютно точными. Поэтому обсервованный навигационный параметр не является "истинным".

Погрешности измерений по характеру их проявления подразделяют на случайные, систематические и промахи.

Случайными называют погрешности, образующиеся от совместного действия многочисленных причин, прямо или косвенно влияющих на результаты измерений. Каждая из этих причин порождает элементарную погрешность, ни одна из которых не превалирует над другими. Выступая в случайных сочетаниях, компенсируя друг друга и складываясь, элементарные погрешности образуют случайные погрешности измерений. Случайные погрешности принимают в отдельных измерениях значения, предсказать или предвычислить которые принципиально невозможно. Такие погрешности подчиняются массовым статистическим закономерностям. В частности, случайные погрешности измерений обычно подчиняются закону нормального распределения вероятностей (закону Гаусса).

В качестве основной характеристики точности в судовождении принято среднее квадратическое отклонение, которое обозначается m с индексом, указывающим на величину, точность которой характеризуется.

Величину m нельзя использовать как поправку для улучшения или исправления результатов измерений, так как она показывает лишь диапазон, в котором с той или иной вероятностью заключены значения (реализации) случайных погрешностей, остающиеся неизвестными. Так, при нормальном распределении погрешности не выходят за пределы m с вероятностью 0,683, или 68,3%. Вероятность того, что погрешности не превышают по абсолютной величине удвоенное среднее квадратическое отклонение, т.е. заключены в интервале2m, составляет 95,4%. Заметим, что в технике чаще используют близкую к этому 95%-ную погрешность, равную 1,96 m. Наконец, вероятность погрешностей, не выходящих из интервала3m равна 99,7%. Так как вероятность выхода за этот интервал, равная 0,3% (т.е. в среднем три случая на тысячу), считается практически пренебрежимо малой, то величину 3mобычно принимают в судовождении предельной погрешностью_пред. Если обнаруживаются погрешности с абсолютной величиной более 3m, то их относят к грубым погрешностям (промахам). Такие погрешности возникают из-за недостаточной внимательности или квалификации наблюдателя. Измерения с грубой погрешностью расценивают как бракованные, их стремятся выявить и отбросить.

Величина m характеризует рассеивание результатов измерений. Оценка m является статистической характеристикой; она не может быть определена из одиночного измерения, а выводится из серии измерений, выполненных в одинаковых условиях. Если измеряют величину, которая изменяется, то полученные результаты должны быть вначале приведены к одному значению этой величины по скорости ее изменения. Например, при измерении серии высот светила на ходу судна отсчеты секстана приводят к одному моменту и к одному месту (зениту).

По результатам n измерений x_i(i = 1, 2,…, n) оценка среднего квадратического отклонения m может быть получена по формуле Бесселя

,

где v_i= x_i– x_ср– отклонения результатов измерений х_i от их среднего х_ср, при

.

Систематическими называют постоянные или медленно изменяющиеся погрешности, а также зависящие известным образом от доступных контролю величин. Этими свойствами таких погрешностей пользуются для их уменьшения введением поправок.

Определение поправок всегда сопровождается появлением случайных погрешностей, которые, однако, проявляются затем систематически или случайно в зависимости от решаемой задачи. Остаточные погрешности (после введения поправок) оценивают, как и случайные, средней квадратической величиной.

Полной, суммарной или результирующей называют погрешность, имеющую случайную и систематическую составляющие, как и бывает обычно на практике. Обозначая среднюю квадратическую величину полной погрешности m_n, а названных ее составляющих m_сли m_сист, по правилу сложения дисперсий имеем при одиночном измерении

,

а при осреднении n измерений уменьшается только случайная составляющая:

.

Если измеряют однородные навигационные параметры с общей для них систематической погрешностью, то она обуславливает взаимную зависимость между полными погрешностями. Эта зависимость статистическая ("в среднем") и характеризуется коэффициентом корреляции r, который при равноточных измерениях выражается формулой

Всегда r1. Если r = 0, то погрешности независимы, а приr= 1 между ними однозначная линейная зависимость.

Для получения надежных оценок требуются большие серии измерений. При определениях места это невозможно и поэтому в практике судовождения основными являются априорные характеристики точности.

Априорные (от лат. a priori – до опыта) характеристики точности обобщают результаты специальных исследований и опыт таких же измерений в сходных условиях.

Таблица 3

Априорные значения средних квадратических погрешностей

m измерений навигационных параметров

Измеряемый навигационный параметр	m	Примечания
Пеленг по магнитному компасу	0,5-1,5
Гирокомпасный пеленг	0,3-0,5
Радиопеленг: Днем Ночью	1,0-1,5 2,0-3,0
Радиолокационный пеленг	1,0-1,5
Радиолокац. Расстояние	1% от D 0,6% от D	На шкалах до 4 миль На других шкалах
Горизонтальный угол	1-2
Высота светила	0,5-1,5
Параметр РНС "Лоран-С" Поверхностный Пространственный	0,2-0,5 мкс 1-2 мкс	Автоматический Приемоиндикатор

Приращение навигационного параметра U вызывает смещение линии положенияр, зависящее от градиента:

,

Переходя в этом равенстве к средним квадратическим погрешностям, получаем важную формулу

,

которая выражает среднюю квадратическую погрешность линии положения m_рв зависимости от такой же погрешности навигационного параметра m_U.

Если обсервованное значение навигационного параметра U_oизменить в обе стороны на его среднюю квадратическую погрешность m_U, то соответствующие этому смещение изолинии (штриховые на рис. 1.30.) укажут границы средней квадратической полосы положения.

Рис. 1.30.

Вероятность нахождения места внутри средней квадратической полосы при нормальном распределении равна 68,3%. Расширение полосы увеличивает такую вероятность. Утроенную полосу называют предельной полосой положения - ей соответствует вероятность нахождения места 0,997, или 99,7%.

Вследствие неизбежных погрешностей измерений навигационных параметров обсервованное место судна не совпадает с истинным. Погрешность места, как и порождающие ее погрешности измерений параметров, носит случайный характер.

Оценивание точности определений места должно основываться на массовом статистическом исследовании погрешностей измерений, от которых зависит точность обсерваций. Любая оценка точности говорит лишь о вероятности нахождения действительного места судна в пределах определенной области. Практически такие оценки оправдываются только в среднем для многих обсерваций.

При анализе точности обсерваций принимают, что истинное место судна хотя и неизвестно, но оно не случайно, оно есть, но не известно в какой точке.

Наиболее полную характеристику точности места дает эллипс погрешностей с центром в обсервованной точке.

Если для расчетов или построения эллипса используют средние квадратические погрешности линий положения, то получают средний квадратический эллипс. Вероятность нахождения в нем места при нормальном распределении составляет только 39,3%. Этот эллипс (его оси) надо увеличить в 2,5 раза чтобы получить принятую "Стандартами точности судовождения" ИМО 95%-ную фигуру погрешностей. Вместо этого проще сначала увеличить в 2,5 раза средние квадратические погрешности линий положения, используя которые сразу получают 95%-ный эллипс погрешностей места.

Любой эллипс задается тремя параметрами, например, полуосями и углом ориентации одной из них. Формулы для расчета таких параметров весьма сложны и по ним составлены программы для судовых ЭВМ. При решении задач вручную ограничиваются построением эллипсов по двум изолиниям или линиям положения (рис. 1.31).

Рис. 1.31.

1) пользуясь априорными оценками точности измерений найти полные средние квадратические погрешности m_побоих параметров и увеличить их в 2,5 раза;

2) построить две 95%-ные полосы положения;

3) в образовавшийся пересечением этих полос четырехугольник погрешностей вписать на глаз от руки эллипс и оценить параметры.

В большинстве случаев эллипс погрешностей места имеет форму, близкую к окружности. Этим пользуются для оценки точности места одним числом М – средней квадратической погрешностью места. Величину М принимают радиусом круга с центром в оцениваемой точке и называют также круговой погрешностью места.

,

где m_Iи m_II- полные средние квадратические погрешности линий положения с

коэффициентом корреляции r между ними;

• - угол между градиентами.

Заменяя здесь m_I и m_IIпо формуле (m_p), получаем общую формулу средней квадратической погрешности места:

,

где m₁ и m₂ - средние квадратические погрешности навигационных параметров, градиенты которыхg₁ иg₂.

Подставляя в общую формулу выражения градиентов разных навигационных параметров, получают формулы для расчета М при разных способах определений, что будет делаться далее. При обсервациях по параметрам, полные погрешности которых независимы, (r = 0) формула упрощается:

,

где - угол между ЛП.

Круговая погрешность М связана с полуосями среднего квадратического эллипса погрешностей a и b следующим равенством

.

Видим, что круг радиуса М всегда охватывает такой эллипс (рис. 1.32), вероятность нахождения в котором при нормальном распределении всегда 39,3%, а внутри круга – зависит от сжатия эллипса и изменяется от 63 до 68% (ориентировочно принимают 65%).

Рис. 1.32.

Чтобы получить радиус круга, внутри которого место находится с вероятностью 95%, как предусмотрено стандартами ИМО, надо умножить М на коэффициент 1,9. Поэтому с некоторым «Запасом» можно принимать радиус R 95%-ного круга погрешностей как удвоенную среднюю квадратическую погрешность места М, т.е.

.

Этим равенством будем далее пользоваться для оценки точности места в соответствии с требованиями "Стандартов точности судовождения" ИМО.

В стандарте ИМО плавание подразделяется на два вида: 1) акватории портов и подходы к ним, включая все районы, где затруднено маневрирование судна; 2) другие районы. Граница между этими видами плавания четко не определяется и зависит от конкретных условий (Резолюция А815(1995 г.).

При плавании в стесненных водах точность 10 м. При плавании в других районах со скоростью до 30 уз. текущее место судна должно быть известно с погрешностью не более 4% расстояния до ближайшей опасности, но не более 4 миль. При этом точность места должна оцениваться вероятностью 95%-ной фигурой погрешностей с учетом случайных и систематических погрешностей.