Нурушев Введение в поляризационную 2007

ния. Действуя матрицей (28) на волновые функции (26) и (27) с учетом соотношений (29), можно получить связь между амплитудами в спиральном и угловом представлениях. Они даны ниже. Здесь же можно найти связи с амплитудами в синглет-триплетном представлении.

Связь между амплитудами в разных представлениях

А. В спиральном и угловом представлениях:

ϕ1 − ϕ2 = a − m − 2g,

ϕ1 + ϕ2 = (a + m)cosθ + 2icsin θ + 2h, ϕ3 + ϕ4 = a − m + 2g,

ϕ3 − ϕ4 = (a + m)cosθ + 2icsin θ − 2h,

ϕ5 = − 12 (a + m)sin θ + iccosθ.

151

Б. В угловом и спиральном представлениях (обратное пункту А): a = 14 [(ϕ1 − ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 )+ (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 −ϕ4 )cos θ− 4sin θϕ5 ],

ic = 14 [(ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 −ϕ4 )sin θ+ 4cos θϕ5 ],

m = 14 [(−ϕ1 + ϕ2 − ϕ3 − ϕ4 )+ (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 − ϕ4 )cos θ− 4sin θϕ5 ],

g= 14 (− ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 ),

h= 14 (−ϕ1 − ϕ2 + ϕ3 −ϕ4 ).

В. В спиральном и синглет-триплетном представлениях:

ϕ1 − ϕ2 = Mss ,

Спиральные амплитуды могут быть выражены через фазовые сдвиги. Для этого нужно преобразовать матричные элементы в спиральном пространстве в матричные элементы в синглет-триплетном пространстве. Так как последние уже выражены через фазы, значит задача решена.

Матричные элементы в спиральном представлении могут быть выражены через элементы в синглет-триплетном представлении следующим образом:

λ1'λ2 ' M λ1λ2 = ∑ λ1'λ2 ' Sms Sms M Sms ' Sms ' λ1λ2 . (30)

Поскольку в этом уравнении элементы матрицы М, так же как коэффициенты Клэбша-Гордона известны, можно найти спиральные амплитуды (см. “Связь между амплитудами в разных представлениях”).

Список литературы

Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 1.

Релятивистская квантовая механика. М.: НАУКА, 1978.

152

Jakob M. and Wick G.C. Ann. оf Phys. 7 (1959) 404.

Stapp H. P. Phys. Rev. 103 (1956) 425.

§23. Изоспин T, C- и G-четности

§23.1. Изотопическая инвариантность

Есть много экспериментальных доказательств тому, что протон и нейтрон имеют много схожих свойств в ядерных взаимодействиях. Можно предположить, что они являются компонентами одного и того же объекта, который будем называть нуклоном. Во-первых, их массы очень близки. Так у протона масса равна 938,27 МэВ, а у нейтрона – 939,57 МэВ, так что разница масс составляет всего 1,3 МэВ. Предполагается, что такое малое различие масс (≈1 %) обусловлено электромагнитным взаимодействием. Во-вторых, они взаимодействуют друг с другом сильно, и оба являются строительным материалом для ядер. В-третьих, известно, что если исключить относительно слабое электромагнитное взаимодействие в pp- системе, то эта система практически эквивалентна системе из двух нейтронов nn. Такое равенство сил взаимодействия между двумя протонами и двумя нейтронами называют зарядовой симметрией. Дополнительное экспериментальное обоснование зарядовой симметрии следует, в частности, из опытов по нуклон-нуклонному рассеянию. Показано, что процессы упругого pp- и nn-рассеяний одинаковы, если исключить кулоновское взаимодействие. Такие же данные получены и в упругом пион-нуклонном и каон-нуклонном рассеяниях. Из области ядерной физики можно вспомнить также зеркальные ядра, в которых протоны и нейтроны переставляются местами. Свойства этих ядер, такие, как энергия связи, энергетические уровни и т.п. очень близки. Приведем в качестве примера близости энергии связи двух зеркальных ядер следующие примеры:

H 3 = (nnp) → B = 8,192 МэВ, He3 = ( ppn) → B = 7,728 МэВ.(1)

Здесь в круглых скобках указан нуклонный состав ядер трития и ге-

лия-3. Разница в энергии связи этих ядер составляет всего ∆Β ≈ 0,5 МэВ. Эта разница может быть объяснена энергией кулоновского отталкивания двух протонов в гелии-3:

Близость энергетических уровней зеркальных ядер можно увидеть на следующем примере:

153

B11 = (6n5 p) → E = (1,98; 2,14; 4,46; 5,03; 6,76) МэВ,

(3)

C11 = (6 p5n) → E = (−; 1,85; 4,23; 4,77; 6,40) МэВ.

Здесь в первой круглой скобке указывается количество протонов и нейтронов в данном ядре. В следующей круглой скобке указаны энергии уровней данного ядра в МэВ. Наблюдающееся подобие энергетических уровней этих зеркальных ядер наиболее просто объясняется гипотезой о симметрии между протоном и нейтроном. Такая симметрия называется зарядовой симметрией. Подробное обсуждение этих вопросов можно найти в книге [Шифф (1957)].

В этих рассуждениях существенно и то, что и протоны, и нейтроны имеют полуцелый спин и подчиняются одинаковой статистике (статистике Ферми-Дирака). Это значит, что система из двух протонов или двух

нейтронов описывается волновой функцией ψ(r1, s1;r2 , s2 ) (где r , s –

координата частицы и ее спин соответственно), антисимметричной при одновременной перестановке координат и спинов частиц. Обнаруженная экспериментально зарядовая симметрия ядерных сил оказывается, однако, лишь одним из проявлений более глубокого сходства протона и нейтрона. Этот новый вид симметрии был введен В. Гейзенбергом [Heisenberg (1932)] и назван изотопической инвариантностью. Ее основное содержание сводится к тому, что силы, действующие между парами pp, np и nn, равны между собой, а сами протоны и нейтроны являются двумя компонентами нуклона. Проиллюстрируем обоснованность этой гипотезы одним примером из области малых энергий. Взаимодействие протона с протонами или нейтронами в области малых энергий характеризуется двумя параметрами: длиной рассеяния a и эффективным радиусом рассеяния r0.

Они определяют фазу рассеяния δ в S-состоянии следующим соотношением:

Здесь k – волновое число. Экспериментально эти параметры оказались следующими [Нишиджима (1965)]:

np : 3 S1 , r0t = (1,704 ± 0,028) 10 −13 см, at = (5,39 ± 0,03) 10 −13 см;

1S1 , r0S = (2,670 ± 0,023) 10 −13 см, aS = (− 23,74 ± 0,09) 10 −13 см; (5) pp : 1 S1 , r0S = (2,77) 10 −13 см, aS = (−17,77) 10 −13 см.

Нужно сравнивать параметры a и r0 np- и pp- рассеяния в одинаковых 1S1-состояниях. Качественно параметры a и r0 согласуются. На количест-

154

венную разницу не надо обращать внимания, так как изменением на 3 % глубины потенциальной ямы можно эту разницу убрать.

Эти экспериментальные факты привели к понятию изотопического

спина нуклона τ и к открытию закона изотопической инвариантости в сильных взаимодействиях. Изотопический спин представляет вектор в изотопическом пространстве и имеет такие же свойства, как сигмаматрица Паули. Изоспиновое пространство не является реальным пространством, а всего только математическим формализмом. Соответственно, природа изотопического спина неизвестна.

Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий может быть сформулирована как инвариантность относительно “поворотов в изопространстве”. Запишем в явном виде оператор изоспина T (T1, T2, T3) и изо-

спинор ψ :

Рассмотрим поворот на угол π вокруг оси х2 этого пространства. Изоспинор преобразуется согласно соотношению:

Здесь Ti = 1/2 τi , где i = 1, 2, 3. T представляет истинный изотопиче-

ский спин нуклона, равный 1/2, с собственными значениями ±1/2; τ является аналогом сигма-оператора Паули в изотопическом пространстве. Обычно принимается, что собственное значение +1/2 соответствует протону и описывается функцией ψ1 , а –1/2 соответствует нейтрону и опи-

сывается функцией ψ2 уравнения (6). В частности, для изоспиноров, от-

вечающих двум компонентам изодублета (будем говорить – протону и нейтрону), имеем:

где р и п обозначают для краткости зарядовые состояния p и n ну-

клона. Аналогичным образом найдем такое же преобразование для антинуклонов:

Как мы видим, в сильных взаимодействиях сохраняется зарядовая независимость, или шире, соблюдается изотопическая инвариантность.

§23.2. Зарядовое сопряжение

Операция зарядового сопряжения определяется только в релятивистской теории. Запишем ψ -оператор в виде разложения:

где ap, bp – операторы уничтожения и рождения частиц с импульсами p. Операция зарядового сопряжения сводится к замене частиц на античастицы и обратно, т.е.:

Введя зарядово-сопряженный оператор ψC , подставляя (12) в (11), находим

Это равенство выражает свойство зарядовой симметрии частиц и античастиц. Из соотношения (11) следует, что оператор C заменяет частицу на нетождественную ей античастицу. В результате он не имеет собственных функций и собственных значений. Короче говоря, в общем случае операция зарядового сопряжения не приводит к новым физическим следствиям. Однако есть исключение. Если имеется система одинакового числа частиц и античастиц, то оператор C имеет собственные функции и собственные значения. Такими примерами могут служить следующие преобразования:

Первое соотношение является очевидным, поскольку Λ-гиперон является изотопическим синглетом. Для доказательства двух последних соотношений запишем в явной форме волновую функцию пары нуклонов и антинуклонов и матрицу зарядового сопряжения [Лифшиц (1971)]:

156

Получаем два матричных уравнения второго ранга, которые решаем раздельно:

Расписываем и решаем второе матричное уравнение:

Поскольку C2 = 1, то легко убедиться, что результаты (20) и (21) совпадают.

§23.3. G-преобразование

Рассмотренные выше два закона сохранения при их одновременном применении приводят к появлению новых правил отбора, которые ни одним из них в отдельности не доказываются [Lee (1956)].

Применим теперь совместно операции изотопического преобразования T и зарядового сопряжения C. Произведение обоих операторов обозначим через G:

157

Оператор G коммутативен с операторами всех трех компонент изоспина Т1, Т2, Т3. В этом проще всего убедиться прямым образом, написав явные выражения операторов в виде четырехрядных матриц, преобразующих нуклонные и антинуклонные состояния. Расположим эти состояния в виде столбца:

Здесь 0 и I – двухрядные матрицы.

Если операция G превращает частицу (или систему частиц) саму в себя, то возникает понятие о G-четности: состояние может остаться неизменным или изменить знак. Для этого необходимо, чтобы барионное число и гиперзаряд Y (Y = B + S, В – барионное число, S – странность) частицы были равны нулю. Действительно, зарядовое сопряжение (переход от частицы к античастице) меняет знак как электрического заряда Z, так и гиперзаряда. Поворот же в изопространстве меняет Z, не затрагивая Y и В. Поэтому совместное применение обоих преобразований во всяком случае изменит числа Y, В, если они отличны от нуля.

Важное свойство G-четности состоит в том, что она одинакова у всех компонент одного и того же изомультиплета. Это следует из коммутативности оператора G со всеми компонентами T, а поэтому и со всеми поворотами в изопространстве.

При Y = 0 имеем Z = T3, откуда видно, что Т3, а тем самым и Т – целое число. Изомультиплет с целым Т описывается симмeтpичным изоспинором четного ранга 2Т, эквивалентным неприводимому изотензору ранга

158

Т. Среди компонент такого изомультиплета имеется нейтральная частица (Т3 = 0). Ей отвечает изотензор ' ψih с отличной от нуля компонентой

' ψ33. Поворот на угол π вокруг оси х2 умножaeт этот изотензор на (–1)Т. Если С – зарядовая четность нейтральной частицы, то ее G-четность

Согласно сказанному выше, тем самым определена G-четность всех компонент изомультиплета.

Рассмотрим, например, изотриплет пионов (Т = 1). Зарядовая четность

π0-мезона С = +1. Это следует из того, что π0-мезон распадается на четное число частиц, а именно: на две зарядово-нечетных частицы (фотоны). Поэтому G-четность пионов G = –1. Отсюда можно, в частности, заключить, что под влиянием сильного взаимодействия система пионов может перейти в другую систему пионов лишь без изменения четности числа частиц.

η-мезон является изосинглетом (Т = 0), а его зарядовая четность С=

=+ 1, так как η-мезон, как и π0-мезон, распадается на два фотона. Поэтому

η-мезон имеет положительную G-четность (G = + 1). Отсюда следует, что

сильные взаимодействия не могут привести к распаду η→3π.

Желательно распространить понятие G-четности и на другие одночастичные состояния. Обозначим состояние частицы m зарядового мультиплета с импульсом p, спиральностью λ и третьей компонентой изоспина

T3 через функцию m,T3 , p, λ , а состояние античастицы – через m,T3, p,λ . Поскольку операция G переводит частицу в античастицу, не

Здесь ηG не зависит от T3 ; функция состояния для античастицы в

изотопическом пространстве преобразуется, как и функция состояния частицы. В результате для частиц мультиплета справедливо соотношение

Для π0-мезона С = +1, T =1, T3 = 0 и, следовательно, G = –1, в то время как для η-мезона, хотя четность С = + 1, но так как T = 0, T3 =0, то G = 1. Это согласуется с полученными выше результатами.

159

Формулу (28) можно рассматривать как расширение формулы (25) на заряженные члены мультиплета, которые должны иметь такую же G- четность, как и истинно нейтральный член мультиплета. Для изотриплета

пионов следует C π± = G π± = − πm . Рассмотрим G- и C-четности так-

же для гиперонов и K-мезонов. Существенно при этом, что барион может испустить (виртуально) один пион, а гиперон – один K-мезон, соблюдая при этом правила отбора по изоспину, гиперзаряду и барионному числу. Из распада Σ → πΛ следует, что ηG (Σ)= ηG (π)ηG (Λ)= ηG (π), так как

Список литературы

Лифшиц Л.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория.

Ч. 2, с. 190. М.: Наука, 1972.

Нишиджима К. Фундаментальные частицы. М.: МИР, 1965. Пилькун Х. Физика релятивистских частиц. М.: МИР, 1983.

Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. Heisenberg W. Zs. F. Phys. 77 (1932) 1

Lee T.D., Yang C.N. Nuovo Cimento 3 (1956) 749.

160