Нурушев Введение в поляризационную 2007

В системе покоя частицы выберем ось z как ось квантования и пред-

Тогда из (§3 (7) и (§3 (8)) получаем четыре уравнения в матричной

Все спиновые операторы можно представить в виде матрицы ранга 2 с

что компоненты спинора α и β являются собственными функциями sˆz с

собственными значениями ± 12 .

Найдем теперь в явном виде матричное представление для операторов спина 1.

Различие с предыдущим примером состоит в том, что спиноры будут

1 0

трехкомпонентны, т.е. мы должны добавить к спинорам α = 0 , β = 1 0 0

0

еще один спинор γ = 0 , а спиновые матрицы будут ранга 3 × 3.

1

Каждый спиновый оператор будет иметь 9 неизвестных коэффициен-

тов sˆ = aij , где i, j = 1, 2, 3.

Сохраняя запись спиновых операторов, как и выше, выпишем уравне-

ния, следующие из (§3(7), §3(8), §3(9)), для спина 1:

41

Этим решается задача определения в явном виде спиновых операторов для частицы со спином 1.

Список литературы

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

Вольфенштейн Л. УФН 62 (1957) 71.

Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ 83-103 ОЭФ, Серпухов (1983).

§5. Уравнение Шредингера

Во многих приложениях в данной книге придется обращаться к уравнению Шредингера. В дальнейшем в качестве примера задачи с дискретными спектрами мы остановимся на атоме водорода в основном состоянии. В качестве примера на задачу с рассеянием (задача на непрерывный спектр) мы рассмотрим рассеяние нуклона на ядре с применением Борновского приближения (модель Ферми).

Другой пример применения уравнения Шредингера мы приведем в разделе нуклон-нуклонного рассеяния при выводе соотношения унитарности. Конкретные приложения этих и других формул будут проиллюстрированы в соответствующих разделах книги.

В параграфе 1 мы привели общую формулу (29) записи уравнения Шредингера для случая взаимодействия в форме

Для стационарных задач (когда гамильтониан не зависит от времени) это уравнение имеет вид

Рассмотрим применение этого уравнения в случаях дискретного и непрерывного спектров.

А. Атом водорода в основном состоянии и его энергетические уровни

Для данной задачи известны и подробно рассмотрены в литературе следующие гамильтонианы взаимодействия

A.1. Здесь гамильтониан кулоновского взаимодействия имеет вид

Этот гамильтониан определяет бальмеровы термы (т.е. уровни энергии по терминологии, принятой в спектроскопии) атома водорода

Здесь n = 1,2,3,…∞ называется главным квантовым числом, и оно определяет уровни энергии атома водорода в главном приближении;

Этот член (5) обеспечивает главный вклад в энергию уровня, остальные члены ( Hr , Hsl , Hss , HsB ) можно рассматривать как небольшие возмущения.

A.2. Гамильтониан Hr учитывает релятивистские поправки к энергии электрона с ростом его скорости. Вычисления с использованием теории возмущений приводят к результату [Шпольский (1984)]

43

Дополнительная энергия за счет взаимодействия магнитного диполя с моментом электрона µe и магнитного поля составляет

Это выражение получено в системе покоя электрона (R-система). Чтобы вернуться в лабораторную систему (L-система), где покоится атом водорода, нужно произвести лоренц-преобразование. В результате, как показал Я.И. Френкель до появления теории Дирака [Frenkel (1926)], энергия Hls уменьшается в 2 раза:

Этот фактор 1/2 играет существенную роль при рассмотрении движения электрона в магнитном поле, объяснении фактора Ланде и томасовской прецессии спина при релятивистских преобразованиях спина.

Рассматривая этот гамильтониан как возмущение по сравнению с основным гамильтонианом Hc в соотношении (3), мы можем найти соответствующую добавку к энергии методом теории возмущений:

Скобки < > обозначают усреднение по координатам. Усреднение по

координатам производится только по члену 1 , поскольку другие члены r 3

от координат не зависят:

< r13 >= ∫ψ nl r13 ψnl dτ .

Здесь ψnl являются собственными функциями основного гамильтониана Hc с квантовыми числами n и l. Вычисления приводят к выражению

Здесь а1 – первый боровский радиус, равный

45

Теперь необходимо вычислить скалярное произведение магнитного

r

момента электрона на его же момент орбитального движения µe •l . Магнитный момент и спиновый механический момент связаны соотношением µre = −geµBsre (знак минус возникает из-за отрицательного заряда электрона), где ge представляет фактор Ланде (для электрона ge 2 ),

на. Таким образом, задача сводится к вычислению скалярного произведе-

формулы справедливы для квадрата оператора спина sˆ2 и квадрата опера-

Суммируя вклады от релятивистского (6) и спин-орбитального (17)

Формула (18) для тонкой структуры спектральных линий атомов, выведенная из уравнения Шредингера, совпадает с выражением, получаемым из решения уравнения Дирака.

46

A4. Рассмотрим теперь гамильтониан Hss в соотношении (3) (изложение следует книге [Фейнман (2004)]). Этот гамильтониан возникает благодаря взаимодействию спинов электрона и протона в атоме водорода и ответственен за сверхтонкое расщепление спектральных термов атомов. Это расщепление в отсутствие внешнего магнитного поля происходит следующим образом. Согласно квантовой механике два спина складываются векторно таким образом, что образуются новые состояния с полны-

ми спинами s, равными 0 (синглегное состояние) и sr =1 (триплетное состояния). Эти два состояния, синглетное и триплетное, отстоят друг от друга на энергию ∆e = ∆Est = hν . Для атома водорода в основном со-

стоянии этой энергии соответствует магнитное поле Hc 509 эрстед. Это поле называется критическим полем. При создании поляризованных мишеней внешнее магнитное поле часто нормируется на это критическое поле.

Как известно, спины как у электрона, так и у протона равны 1/2. Следовательно, мы имеем 4 конфигурации их спинов, а именно:

1. Спины электрона и протона параллельны и направлены оба вверх. Вновь используем дираковские скобки для обозначения этих конфигу-

рации спинов. Например, | memp > обозначает состояние системы из

двух спинов с их проекциями me для электрона и mp для протона. Пусть положительное направление оси z ориентировано вверх. Тогда, конкретно для рассматриваемого случая, когда оба спина направлены вверх, состояние обозначаем |+ +>. Пронумеруем для краткости это состояние, как первое: |1>.

2.У электрона спин направлен по-прежнему вверх, а у протона – вниз: |2>=|+ –>.

3.У электрона спин направлен вниз, а у протона – вверх: |3>=|– +>.

4.У электрона и у протона спины направлены вниз: |4>=|– –>. Выбранные выше базисные функции обладают свойствами полноты и

ортогональности. Это значит, что эти волновые функции в спиновом пространстве полностью описывают систему из спина электрона и спина протона. Подчеркнем здесь два обстоятельства. Во-первых, координатные и спиновые переменные независимы, и, во-вторых, спиновые операторы электрона действуют только на спиновые индексы me, а протонные спиновые операторы действуют только на спиновые индексы mp.

Если выбран определенный базис, то мы можем описывать состояние системы до начала и после взаимодействия в этом базисе. Это значит, что выбор базиса не зависит от гамильтониана рассматриваемого процесса.

47

В силу полноты и ортогональности базисных векторов любое состояние физической системы из двух спинов можно разложить по базисным векторам, а именно:

причем в силу той же полноты и ортогональности базисных векторов можно выразить коэффициенты разложение следующим образом:

При этом величина | Ci |2 определяет вероятность найти систему из

двух спинов в состоянии i. Коэффициенты Ci зависят от гамильтониана системы и определяются из решения либо уравнения Шредингера, либо уравнения Дирака.

Перейдем к поиску гамильтониана задачи. Для описания системы двух

покоящихся спинов имеются два вектора σre иσr p , соответствующие спинам электрона и протона. Гамильтониан должен быть скалярным оператором, составленным из этих векторов и единичных матриц в этих двух спиновых пространствах. Значит, общий вид гамильтониана имеет вид

где Е0 определяет начало отсчета энергии, что не существенно в этой задаче о сверхтонком расщеплении спектральных термов атома водорода, I – единичная матрица. Поэтому положим Е0 = 0.

Действуя оператором Hss = Aσre •σr p на базисные волновые функции

(19), находим матричные элементы гамильтониана (подробно эта процедура изложена в книге [Фейнман (2004)])

Для гамильтониана Hss запишем уравнение Шредингера:

Поскольку задача стационарная, представим коэффициенты разложения волновой функции в виде

Здесь С является четырехкомпонентной амплитудой, зависящей от времени, как это записано в соотношении (19). Новые, тоже четырехкомпонентные, амплитуды a уже от времени не зависят. Подставляя (24) в уравнение (23) и используя матричную запись гамильтониана в форме (22), находим систему уравнений для определения коэффициентов ai (E – собственные значения гамильтониана)

Система позволяет найти сразу два простых решения. В первом случае E = A, a1 =1, a2 = a3 = a4 = 0 и волновая функция имеет вид (назовем

Два оставшихся уравнения содержат смешанные амплитуды a2 и a3. Складывая и вычитая два средних уравнения в выражении (25), получаем

Соответствующие состояния с учетом нормировки и энергии можно

В результате найдены четыре состояния с определенными энергиями, причем 3 состояния имеют одинаковые энергии, т.е. они вырождены. Одно состояние, |IV>, имеет энергию –3A, и в результате сумма энергии четырех состояний равна нулю. Это соответствует нашему выбору Е0 = 0 при определении гамильтониана Hss.

49

Остается пока неопределенной величина энергии А. Она может быть вычислена теоретически. Мы приведем здесь результат измерения этой величины экспериментально в работе [Crampton (1963)]. Согласно этим измерениям A = hν, где

ν = (1 420 405751,800±0,026) Гц.

Найденные выше новые состояния также ортогональны и нормированы. Они могут рассматриваться как новые базисные векторы.

А5. Гамильтониан HsB приводит к зеемановскому расщеплению спектральных термов атома водорода во внешнем магнитном поле.

Если атом водорода находится во внешнем магнитном поле, то к предыдущему гамильтониану Hss добавится новый HsB, где

Поскольку оба гамильтониана Hss и HsB играют роль в зеемановском расщеплении спектральных термов атома водорода, рассмотрим их вместе:

HZ = Hss + HsB = Aσre •σr p −µeσre • Br −µpσr p • Br . (34)

Если направить внешнее поле B вдоль оси z, то уравнение (25) видоизменится следующим образом:

Как и раньше, первое и четвертое уравнения дают следующие решения

( a1 =1, a2 = a3 = a4 = 0 ):

Для двух оставшихся состояний получаются два однородных уравнения с нулевым детерминантом. Определим матричные элементы

Энергия уровня определяется через приведенные выше матричные элементы следующим образом:

50