Нурушев Введение в поляризационную 2007

Таким образом, матрице β соответствует истинная скалярная величи-

на ψ+βψ , а величине βγ5 – псевдоскаляр ψ+βγ5ψ . Если ввести обозна-

чение ψ = ψ+β , то величина ψψ преобразовывается как скаляр, а величина ψγ5ψ – как псевдоскаляр.

Аналогичным путем можно определить поведение всего набора независимых матриц Дирака. Они имеют следующие свойства:

1.1 = S – скаляр,

2.γ5 = P – псевдоскаляр,

3.γµ = V – вектор (µ = 1, 2, 3, 4),

4.γ5γµ = A – псевдовектор или аксиальный четырехвектор,

5.12 (γµγν − γνγµ ) = σµν – антисимметричный тензор второго ранга.

16 перечисленных выше матриц Дирака образуют полный набор, и по ним можно разложить любую матрицу 4 × 4, действующую на спиноры Дирака. Эта возможность используется, например, при построении релятивистской матрицы плотности или матрицы реакции.

Список литературы

Hagedorn R. Relativistic kinematics, section 8. W.A. Benjamin, Inc. New York-Amsterdam (1963).

§9. Спин релятивистской частицы с ненулевой массой

Рассмотрим частицу со спином s = 1/2 и массой m. Определим четырехмерный вектор поляризации S(s0,s ) следующим образом:

•В системе покоя частицы (R-система) он совпадает с нерелятивистским определением спина S(0,sR ).

•Он является аксиальным вектором по аналогии с орбитальным мо-

ментом. Как известно [Hagedorn (1963)], при лоренц-преобразовании четырехвектор x(ct, x) преобразуется следующим образом:

71

Здесь штрихованные переменные определены в системе покоя частицы (R-система), в то время как нештрихованные переменные – в другой ло- ренц-системе, например, в лабораторной системе координат (L-система); β и γ соответственно – скорость и лоренц-фактор частицы в L-системе. По аналогии напишем преобразование спина при переходе из R-системы в L- систему S(s0L , sL ), где

При этом учтено, что в R-системе четвертая компонента спина s0R равна нулю.

Найдем модуль вектора трехмерного спина sL . Для этого учтем, что квадрат четырехмерного вектора поляризации S2 представляет инвариант

стью частицы β. Это соотношение показывает, что величина спина и его направление в лабораторной системе зависит от скорости частицы, в то время как в R-системе эти величины постоянны. Более того, величина sL

может быть сколь угодно большой, переходя в бесконечность для частицы с нулевой массой. В результате мы приходим к выводу, во-первых, что спин не имеет физического смысла в любой системе координат, кроме R- системы, и, во-вторых, для частиц с нулевой массой спин надо определять другим способом (см. ниже).

Найдем угол между вектором поляризации и скоростью в L-системе в функции от угла θR. Запишем для этого скалярное произведение S и четырехмерной скорости V (γ, γv ) в L- и R- системах:

отсюда c учетом (2) и (4) получаем

cos(θL )= srL •vr/ sLv = s0L / sLv = γ cos(θR )/[1+ γ2β2 cos2 (θR )]1/ 2 . (6)

Соотношение (6) приводит к следующим заключениям:

72

•Если пучок поперечно-поляризован в R-системе, т.е. θR = 900, то он также поперечно-поляризован и в L-системе, т.е. θL = 900.

•Если пучок продольно-поляризован в R-системе, то есть θR = 00 (1800), то он также продольно-поляризован и в L-системе только в нерелятивистском случае, т.е. когда γ = 1.

Для случая γ ≠ 1 или промежуточных углов нужно построить графики в зависимости от энергии поляризованного пучка, чтобы иметь представление о поведении поляризации в L-системе при изменении ее в R- системе.

Это же соотношение определяет выражение для “спиральности”, которая представляет проекцию вектора поляризации на направление скорости частицы, а именно,

Это выражение показывает, что поляризация в L-системе может превышать единицу, что физически недопустимо. Это значит, что поляризация имеет смысл только в R-системе.

Список литературы

Hagedorn R. Relatavistic kinematics. W.A. Benjamin inc., New YorkAmsterdam (1963).

§10. Спин частицы с нулевой массой

Как видно из соотношения для четырехмерного вектора поляризации

S(s0L , sL ), где

при скорости частицы, равной скорости света с, лоренц-фактор γ становится бесконечным и понятие спина в L-системе становится бесмысленным, так как спин тоже становится, как и γ, бесконечным. Похожая ситуация возникала ранее с четырехмерной скоростью V (γ, γv ). Однако четы-

рехмерный импульс p = mV уже не имеет проблему расходимости, потому что все частицы, двигающиеся со скоростью света, имеют нулевую

массу и произведение mγ становится равным энергии безмассовой частицы. Умножим по аналогии четырехвектор S на массу m,

73

Оператор Паули–Любавского W мы уже упоминали ранее. Обозначим скалярное произведение β• srR / β = sR cos θ буквой s (спиральность) и перепишем

Этот четырехвектор в пределе m = 0 (и соответственно, β → 1, γ → ∞)

Здесь p представляет четырехимпульс безмассовой частицы со спиральностью s. Так как и W является четырехвектором, то следующие скалярные величины являются инвариантами

для вектора трехспина, причем направление спина совпадает с направлением скорости частицы. При этом проекция спина на это направление (что является определением спиральности) может иметь только два значения + или –. Примером такой частицы является нейтрино, которое имеет спин 1/2 , причем проекция спина всегда отрицательна (левое нейтрино), а у антинейтрино – положительна (антинейтрино – правое). Безмассовые частицы сохраняют спиральность при любых взаимодействиях.

Введенное выше определение спина может быть применено и к фотонам, хотя оно и отличается от стандартного определения спина фотона.

§11. Движение вектора поляризации во внешнем электромагнитном поле

Решение многих практических задач ускорения и транспортировки поляризованных частиц основывается на релятивистских уравнениях движения вектора поляризации во внешних электромагнитных полях. Решение этой задачи было впервые дано в работе [Frenkel (1926)] еще до появления уравнения Дирака, а также до публикации известной статьи

74

[Thomas (1927)] о релятивистской прецессии спина. Длительное время статья Я.И. Френкеля не цитировалась, хотя на нее была ссылка в часто цитируемой работе [Bargmann (1959)].

В этом параграфе мы выведем такое уравнение, основываясь на общих принципах релятивистской механики [Hagedorn (1963)].

Первый принцип, на который мы здесь опираемся, формулируется следующим образом: “Ожидаемые значения наблюдаемых в квантовой механике описываются уравнениями классической механики” (Эренфест). Это значит, что вектор поляризации, который определяется как среднее значение вектора спина (например, оператора Паули), должен подчиняться в своем движении в электромагнитном поле классическому уравнению. В системе покоя частицы это уравнение имеет вид

Здесь µ – магнитный момент частицы, g – гиромагнитное отношение, s – нерелятивистский вектор спина частицы, µ0 – ядерный магнетон.

Задача состоит в том, чтобы записать это уравнение движения в четырехмерной ковариантной форме. При этом мы опираемся на следующее правило: “Если в какой-то частной лоренц-системе дано уравнение, и оно может быть переписано в ковариантной форме, и эта форма может быть сведена к оригиналу в частной лоренц-системе, то такое обобщение является единственным”.

В §3 мы обобщили понятие спина в ковариантной форме. Следовательно, в ковариантной форме уравнение должно иметь вид

где Z должен быть ковариантным четырехвектором. Уравнение (1) подсказывает, что в правую часть должны входить только определенные комбинации векторов. А именно, спин S должен входить линейно и однород-

но. Уравнение линейно по электромагнитному тензору F = Fµν (чтобы получить ковариантную запись электромагнитного поля). Оно должно содержать параметры движения частицы в поле F, т.е. четырехскорость V

и ускорение V& . Из четырех величин S, F, V и V& надо образовать всевозможные четырехвекторы. При этом комбинация V& F запрещается, так как

эта комбинация приводит к квадратичной функции от F из-за зависимости V& от F.

Составим скалярное произведение четырехвектора спина и четырехскорости, которая выражается формулой V (γ, γv )

75

Это соотношение справедливо в любой системе, так как оно справедливо в системе покоя частицы. От этой величины берем производную по времени

Чтобы сделать это соотношение ковариантным, выполним следующие преобразования. Во-первых, введем собственное время τ (в R-системе) и дифференцирование по нему обозначим точкой:

При этом в R-системе γ = 1. Во-вторых, нам надо переписать в ковари-

r

антной форме член µ× H . Для этого запишем тензор электромагнитного поля в матричной форме:

Здесь греческие индексы µ, ν = 0, 1, 2, 3. E и H обозначают электрические и магнитные поля. Нетрудно видеть из этой матрицы, что если исключить первую строку и первый столбец, то остается исключительно магнитное поле.

Перебирая комбинации из четырех величин и учитывая сказанное выше, находим следующие полезные члены:

76

Следовательно, вектор S& можно записать в виде линейной комбина-

Для нахождения параметров a, b и c перейдем в R-систему и воспользуемся тем, что в этой системе скорость имеет компоненты V(1,0). Тогда

Наконец, мы получаем обобщение уравнения (7) в R-системе на произвольную систему Лоренца

При выводе формулы (14) молчаливо предполагалось выполнение двух обстоятельств; во-первых, что магнитный момент частицы – постоянная величина и, во-вторых, что частицы не обладают электрическими моментами любого порядка и более высокими, чем линейный, магнитными моментами.

Если эти два условия не соблюдаются, то выражение для спина в R- системе будет другим. Однако и в этом случае, хотя и с большими усложнениями, можно вывести другую формулу для ковариантного спина. Однако при наличии электрической поляризуемости частицы построение ковариантного вектора спина становится невозможным.

Формула (14) в случае однородного поля может быть упрощена. Для этого напишем уравнение движения заряженной частицы в однородном внешнем поле

Это уравнение подходит и для нейтральных частиц, если положить заряд e = 0. Если использовать соотношение gµ0 = g(e / 2m) , то находим

Если расписать это уравнение в трехмерном пространстве, мы полу-

чим известное уравнение BMT (Bargmann, Michel, Telegdi) [Bargmann

77

(1959)], которое более правильно будет переименовать в FTBMT, поскольку, как мы отметили выше, вывод этого уравнения был сделан раньше их в работах [Frenkel (1926), Thomas (1927)].

Другой подход к решению изложенных выше проблем можно найти в монографии [Leader (1991)].

Список литературы

Bargmann V, Michel L. and Telegdi V.A. Phys. Rev. Lett., 2 (1959) 435. Frenkel J. Z. Physik 37 (1926) 243.

Hagedorn R. Relatavistic kinematics. W.A. Benjamin inc., New YorkAmsterdam (1963).

Leader E. Spin in Particle Physics. Camdridge University Press, London (2001).

Thomas L.H. Phil. Mag. 3 (1927) 1.

§12. Томасовская прецессия спина

Первые же измерения магнитного момента электрона привели к противоречию с ожидаемым теоретическим результатом – гиромагнитное отношение g (фактор Ланде) оказался равным 2, вместо ожидавшейся величины, равной 1. Одним из первых, кто дал объяснение этому факту, были советский физик Я.И. Френкель [Frenkel (1926)] и американский физик Томас [Thomas (1926), Thomas (1927)]. Была выдвинута и обоснована гипотеза о том, что коэффициент 2 в g-факторе является кинематическим эффектом, связанным с релятивистскими преобразованиями вектора поляризации в разные инерциальные системы координат. Пусть во взаи-

модействии (или в распаде) образуется частица с поляризацией P . Определим плоскость рождения этой частицы как плоскость, проходящую через импульс начальной и искомой (конечной) частицы. Если это взаимодействие сильное (или электромагнитное), то вектор поляризации будет направлен параллельно нормали к плоскости рождения частицы. Пусть

частица имеет в лабораторной системе четырехимпульс p(ε, p), угол об-

вектор вдоль направления импульса p . Те же величины в системе центра

масс обозначаются звездочкой сверху справа. В последующем изложении примем во внимание тот факт, что при собственных преобразованиях Лоренца поперечные компоненты вектора не меняются. Поэтому предпола-

78

гаем, что вектор поляризации находится в плоскости реакции. Обозначим угол между вектором поляризации в системе покоя частицы (R-система) и импульсом частицы в лабораторной системе (продолженным в R- систему) – через α, а угол между вектором поляризации и импульсом час-

тицы в системе центра масс (продолженным в R-систему) – через α*. Между этими углами возникнет разница, которую мы обозначим через ω . Для этого угла можно найти следующую формулу [Galbraith (1963)]

Здесь βс , γc обозначают скорость и лоренц-фактор системы центра масс (C-система), в то время как β, γ представляют скорость и лоренц-

фактор частицы в лабораторной системе (L-система).

Физический смысл угла ω состоит в следующем. Наблюдатель, находящийся в R-системе видит, что С- и L-системы двигаются не параллельно, а как раз под углом ω друг к другу. Следовательно, если один и тот же вектор поляризации переносится в R-систему в одном случае напрямую из L-системы, а в другом случае из L в C, а затем в R-систему, то один и тот же вектор оказывается в двух разных положениях по углу. Это является следствием того обстоятельства, что операции поворота и перемещения при лоренц-преобразованиях не коммутируют между собой. Чтобы совместить эти два положения вектора поляризации в одно, надо повернуть

вокруг нормали к плоскости один из векторов Р на угол ω. В этом и состоит смысл томасовской прецессии.

К такому же результату, но несколько иным путем, приходит автор работы [Stapp (1956)]. Согласно этому автору, с точки зрения преобразования спина, процесс рассеяния частицы можно рассматривать состоящим из трех этапов:

1.Надо перенести вектор спина начальной частицы из ее системы покоя в систему центра масс сталкивающихся частиц. Здесь происходит рассеяние, и здесь мы проводим теоретический анализ процесса.

2.Надо перевести вектор спина из системы центра масс в лабораторную систему. Здесь происходит измерение поляризации.

3.Надо перевести вектор спина в систему покоя конечной частицы. Схематическое изображение этих преобразований показано на рис. 1. В результате конкретных вычислений получается формула, определяющая кинематический поворот спина в плоскости реакции

79

Здесь γa , γb , γс обозначают лоренц-факторы частицы в системе центра масс сталкивающихся частиц, в лабораторной системе и в новой системе покоя; Va , Vb и Vc представляют пространственные компоненты четы-

рехвектора относительной релятивистской скорости частицы в системе центра масс, в лабораторной и новой системе покоя.

Вывод приведенных выше формул, ввиду их сложности, мы рассмотрим в отдельном месте.

Рис. 1. Схема, показывающая направление вращения вектора поляризации из-за эффекта релятивистского преобразования: R, C, L соответствуют трем системам координат, относительные скорости рассеянной частицы в этих координатах обо-

значены на сторонах треугольника. Углы θL , θ соответствуют углам рассеяния

частицы в лабораторной и системе центра масс. Смысл других обозначений можно найти в тексте

Одним из важных практических приложений релятивистского преобразования вектора поляризации является создание впервые во FNAL, на ТэВатроне пучка поляризованных протонов (антипротонов) за счет нару-

шающих четность распадов Λ0 (Λ) [Grosnick (1990)]. При распаде Λ0 - частиц протоны оказываются поляризованными вдоль своего импульса в

системе покоя Λ0 -частиц. При преобразовании из системы покоя Λ0 (C- система) в лабораторную систему угол вектора поляризации протона преобразовывается следующим образом [Dalpiaz (1972)]: