Нурушев Введение в поляризационную 2007

что и требовалось доказать.

Эта теорема обеспечивает тот факт, что все наблюдаемые на опыте величины (энергия, импульс, угловые и спиновые моменты и т.д.) представляются в квантовой механике эрмитовыми операторами.

В основе нерелятивистской квантовой механики лежат следующие шесть принципов [Бьеркен (1978а), Бьеркен (1978b)]:

1. Заданная физическая система описывается вектором состояния Φ , который содержит всю информацию о рассматриваемой системе. В применении к одночастичной системе в координатном представлении вектор состояния называется волновой функцией. Эта волновая функция обозна-

чается ψ и является комплексной функцией полной совокупности аргументов, описывающих рассматриваемую физическую систему. Такая совокупность аргументов может включать координаты, импульсы, время, спин, изоспин и т.д. Эти параметры должны описывать все степени свободы частицы. Обозначим эту совокупность независимых переменных как q, за исключением времени, которое обозначим t. Тогда запишем волно-

вую функцию как ψ(t,q). Сама волновая функция ψ (t,q) не имеет прямой

физической интерпретации. Однако квадрат ее модуля, |ψ(t,q)|2 ≥ 0, интерпретируется, как вероятность найти частицу в момент времени t в точке многомерного пространства q. Из вероятностной интерпретации следует, что величина |ψ(t,q)|2 должна быть конечной во всей физической области изменения переменных q.

2. Любой наблюдаемой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор. В частности, переменной импульса pi соответствует в координатном представлении qi следующий оператор

3. Состояние физической системы является собственной функцией Φ

n – -ое собственное состояние (или собственная функция ˆ ), отвегде Φ n O

чающее собственному значению n. Для эрмитова оператора ˆ величина

O O

On действительна.

4. Произвольная волновая функция, или вектор состояния, физической системы может быть разложена по полной ортонормированной сис-

теме волновых функций ψn полного набора коммутирующих с гамильтонианом и друг с другом операторов. Полнота и ортонормированность

21

системы волновых функций ψn (q, s) (q представляет все непрерывные

переменные, а s – дискретные) выражается следующим соотношением

[Шифф (1957)]:

значит, произвольная волновая функция ψ физической системы может быть разложена по этой полной системе следующим образом:

Величина |an|2 определяет вероятность нахождения физической системы в n-ом собственном состоянии.

5. В результате измерения на опыте наблюдаемой величины определяется одно из ее собственных значений. Например, если физическая сис-

тема описывается волновой функцией ψ (25), а функция ψn является

собственной функцией оператора ˆ с собственным значением n, т.е.

O O

дает собственное значение On с вероятностью |an|2. Среднее значение

оператора ˆ (учитывая ортогональность собственных волновых функ-

O

ций) определяется соотношением

6. Уравнение Шредингера описывает развитие физической системы во времени, а именно:

Здесь гамильтониан ˆ (оператор, соответствующий энергии систе-

H

мы) является линейным эрмитовым оператором. Для замкнутой (изолированной) физической системы гамильтониан не зависит явно от времени, следовательно,

Решения уравнения движения с таким гамильтонианом определяют возможные стационарные состояния физической системы. Из принципа линейности оператора гамильтониана вытекает принцип суперпозиции (пункт 4). Условие эрмитовости гамильтониана приводит к сохранению

22

вероятности обнаружения частицы в точке с координатами q, как видно из следующего соотношения, полученного с использованием формулы (27):

Это соотношение устанавливает факт сохранения плотности вероятности.

Рассмотрим простейший случай гамильтониана свободно движущейся изолированной частицы с импульсом p . Гамильтониан равен ее кинети-

ческой энергии:

Для перехода от классической к квантовой механике каждой динамической переменной классической механики сопоставляется линейный эрмитов оператор в квантовой механике, проводится замена:

Отсюда следует нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы

В случае взаимодействия гамильтониан должен содержать в дополнение к кинетической энергии K и потенциальную энергию взаимодействия V и иметь вид

Следовательно, уравнение Шредингера с учетом взаимодействия час-

Нет общего однозначного рецепта для нахождения гамильтониана. При решении каждой конкретной задачи строится гамильтониан из основных независимых кинематических параметров (например, импульсов, орбитальных и спиновых моментов, внешних электромагнитных полей, магнитных моментов и т.д.), накладываются требования инвариантности по отношению к преобразованиям системы координат (перемещениям, вращениям, отражениям в пространстве и инверсии времени), чтобы получить скалярный (или псевдоскалярный) оператор Гамильтона. Пра-

23

вильность выбранного гамильтониана определяется сравнением результатов вычислений с экспериментальными данными.

Примеры построения гамильтониана для конкретных случаев будут рассмотрены в последующих параграфах.

Список литературы

Бете Г. и Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория, т.1. Релятивистская квантовая механика. М.: Наука, 1978a.

Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория, т.2. Релятивистские квантовые поля. М.: Наука, 1978b.

Дирак П.М.А. Принципы квантовой механики. М.: Физматгиз, 1960.

Ферми Э. Квантовая механика. М.: Издательство МИР, 1965. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.

Шпольский Э.В. Атомная физика, т. 1, 7-е изд. М.: Наука, 1984а. Шпольский Э.В. Атомная физика, т. 2, 7-е изд. М.: Наука, 1984b.

§2. Оператор углового момента

В начале этого параграфа мы дадим основные сведения о системе обозначений Дирака, которые мы будем неоднократно применять в дальнейшем [Шпольский (1994)].

Любой вектор ψ в n-мерном евклидовом пространстве однозначно

задается совокупностью своих компонентов в фиксированном базисе, что может быть записано в виде матрицы-столбца из компонент этого вектора

ψ1, ..., ψn . Введем формально сопряженное пространство векторов ψ+ , которые получаются из ψ путем эрмитова сопряжения (транспонирова-

ние в строку и комплексное сопряжение компонент). Формулу для скалярного произведения векторов ϕ и ψ (обычно скалярное произведение

двух функций от x в интервале a < x < b определяется как

(ϕ,ψ)= b∫ϕ(x)ψ(x)dx ) можно сокращенно записать в матричных обозна-

a

чениях (ϕ,ψ)= ϕ+ψ . Следуя Дираку, обозначим ψ ≡ ψ, ψ+ ≡ ψ и

24

назовем ψ кет-вектором, а ψ – бра-вектором (от английского слова bracket – “скобка”). Формально эти два типа векторов связаны операцией эрмитова сопряжения: ψ ≡ ψ+, ψ ≡ ψ + . Символ ϕ ψ (вторая черточка внутри не пишется ради краткости) означает, как указано выше,

число – скалярное произведение векторов ϕ и ψ. Введем в пространстве кет- и бра-векторов полные и ортонормированные базисы, т.е. совокупности таких базовых векторов, которые получаются друг из друга путем эрмитова сопряжения. Эти базисные орты мы будем обозначать просто как

1, 2, ..., n и 1 , 2 , ..., n соответственно. Тогда условие ортонормированности базиса запишется в виде

где δjk – символ Кронекера ( δjk = 1 при j = k, δjk = 0 при j ≠ k). Векторы ψ и ψ можно разложить по своим базисным векторам

полного набора операторов (знак “~” (тильда) означает транспонирование):

торов ψ и ψ соответственно и определяют их однозначным образом. Воспользовавшись полученными выражениями для компонентов век-

торов ψ и ψ , мы можем их разложения записать в виде

значением этого оператора, отвечающим данному собственному вектору. Векторный (или спинорный, это понятие будет введено в последующих параграфах) характер волновой функции записывается в виде скобок Дирака.

Ее элементы, стоящие на главной диагонали, равны собственным зна-

чениям оператора ˆ (среди них могут быть и совпадающие, так называе-

F

мые вырожденные элементы), а все остальные недиагональные элементы равны нулю.

Таким образом, чисто алгебраическая проблема диагонализации матрицы данного эрмитова оператора (т.е. отыскания базиса, в котором эта матрица диагональна) решается одновременно с нахождением собственных значений этого оператора.

Перейдем теперь к изложению основного содержания этого параграфа, касающегося оператора углового момента.

В квантовой механике гамильтониан представляет оператор, определяющий изменение во времени состояния квантовой системы. Основные законы сохранения в физике возникают из требования, чтобы для замкнутой системы пространство было однородным и изотропным. Первое требование приводит к закону сохранения импульса (три сохраняющиеся компоненты импульса). Второе требование приводит к закону сохранения

26

углового момента (шесть сохраняющихся величин: три компоненты момента количества движения и три поворота с участием временной оси четырехмерного пространства).

В этом параграфе мы рассмотрим свойства углового момента, тем более, что они окажутся полезными при знакомстве с “собственным (или внутренним) угловым моментом” частицы, как иначе называют спин. В нашем изложении мы следуем книгам [Ландау (1963), Шифф (1957)].

Пусть имеется замкнутая физическая система с гамильтонианом H. В силу изотропии пространства при повороте такой системы на произвольный угол вокруг произвольной оси гамильтониан системы не должен измениться. Достаточно приложить это условие к бесконечно малому повороту, как оно окажется справедливым и для конечных поворотов.

Пусть физическая система состоит из n частиц, и ее волновая функция

волновая функция при таком преобразовании меняется следующим образом (мы берем два первых члена разложения в ряд, а в третьем преобразовании мы используем коммутативность скалярного произведения векто-

Оператор градиента, обозначаемый здесь (набла), а в других источниках также как grad, представляет собой векторную функцию от скаляр-

ной функции, для декартовых координат – ri = ∂∂xi ir + ∂∂yi rj + ∂∂zi kr , причем стрелка, обозначающая вектор, над знаком зачастую не ставится. Скалярное произведение векторов обозначается символом •.

i

поворота и поэтому он в силу изотропности пространства сохраняет полную энергию системы неизменной и должен коммутировать с гамильто-

27

нианом ˆ [Ландау (1963)]. Исключив из рассмотрения первый член

H

(единица коммутирует с любым оператором), вводя обозначение

Как известно, любой оператор, коммутирующий с оператором Гамиль-

тона, является сохраняющейся величиной. Следовательно, оператор ˆ

L ,

возникший из требования изотропии пространства для замкнутой системы, сохраняется. Этот оператор называется оператором момента импульса, как следует из его определения, как векторного произведения вектора оператора координаты на вектор оператора импульса. Его называют также оператором орбитального или оператором углового момента или оператором момента количества движения. Здесь мы несколько отклонимся от

главной темы этого параграфа, чтобы отметить ряд свойств оператора ˆ

L ,

которые окажутся полезными при рассмотрении оператора спина.

Из классического определения вектора орбитального момента для одной частицы

псевдовектором (или аксиальным вектором), т.е. при пространственной инверсии l не меняет знака в отличие от r и p , которые меняют знаки

(такие векторы называются полярными). Другое важное свойство l связано с операцией обращения времени. Поскольку при такой операции координата не меняет знак, а импульс меняет, то орбитальный момент тоже меняет знак. Поскольку спин не является таким классическим объектом, как орбитальный момент, то для спина нет аналога соотношения (12). Следовательно, нет возможности наглядным и простым путем вывести

такие же свойства для оператора спина, как это мы сделали для l . Но в то же время мы можем распространить эти свойства орбитального момента и на cпиновый момент, так как иначе нельзя было бы производить операции

сложения, чтобы получить полный момент j = l + sr , где s представляет

вектор спина. Вернемся к основной теме.

Квантовомеханическое представление оператора углового момента частицы с учетом связи оператора импульса и оператора градиента

28

pˆ = −ih можно записать, выразив векторное произведение в виде опре-

постоянную Планка h =1 , как это часто делается в теоретических работах; в дальнейшем мы будем особо оговаривать подобные случаи). εikm –

антисимметричный единичный тензор третьего ранга (i = x, y, z = 1, 2, 3), называемый также единичным аксиальным тензором, определяется как

тензор, антисимметричный по всем трем индексам, причем ε123=1. Очевидно, что из 27 его компонент отличны от нуля только те 6, у которых индексы i, j, k образуют какую-либо перестановку чисел 1, 2, 3. При этом компоненты равны +1, если перестановка i, j, k получается из 1, 2, 3 четным числом парных перестановок чисел (транспозиций), и равны –1 при нечетном числе транспозиций. Очевидно, что εijkεijl = 2 δkl , εijkεijk = 6.

Соотношения коммутации между l и координатами xi (оператор xˆi в

координатном представлении сводится к умножению на координату, поэтому мы пишем его без шляпки) могут быть получены прямыми вычислениями и представлены в форме

Точно такие же коммутационные соотношения имеются между операторами углового момента lˆ и импульса pˆ частицы

Аналогичные соотношения коммутации можно получить и для компонент оператора углового момента lˆ , а именно