Нурушев Введение в поляризационную 2007

Здесь (σr • N ) обозначает скалярное произведение трехвекторов σ и

N , где N представляет нормаль к плоскости рассеяния в с.ц.м. Матрица Дирака σi (i = 1, 2, 3) размерностью 4 × 4 имеет форму

Здесь в скобках стоят уже двухмерные матрицы Паули. Объединяя члены в (25) с учетом члена A (см. (21)), получаем выражение для матри-

Таким образом, мы приходим к выводу, что и в релятивистском случае пион-нуклонное рассеяние описывается двумя комплексными амплитудами F и G, причем верхний индекс (+) относится к рассеянию частиц, а (–)

путем небольших преобразований выражение для матрицы пионнуклонного рассеяния можно записать в ковариантной форме

Если вставить это соотношение в (21), то полученная S-матрица оказывается ковариантной, и состояния с положительной и отрицательной энергиями четко разделяются. Эта форма матрицы рассеяния используется часто при обсуждении проблемы спиновых взаимодействий.

Ковариантная матрица плотности

Как уже говорилось при рассмотрении нерелятивистской теории рассеяния, при использовании частично поляризованного пучка удобно работать с матрицей плотности. То же самое утверждение справедливо и в

релятивистской теории. Для состояния физической системы ψα матрица плотности определяется соотношением

α

141

где Wα означает вероятность нахождения системы в данном состоянии, и, следовательно, ∑Wα =1.

где Π – проекционный оператор, выделяющий область R. Если область представляет элемент трехмерного импульсного пространства

Здесь спинор Uα(f ) частицы, движущейся с импульсом f, можно выразить через спинор в R-системе частицы с помощью преобразования Ло-

Вэтом выражении отношение (dfr)/(γ)f является лоренц-

инвариантным (это есть инвариант dp / dE ). Следовательно, величина

aα(fr)γ f 2 должна быть инвариантной при лоренц-преобразованиях.

Заметим, что матрица плотности и элемент объема не являются инвариантными по отдельности. Если, однако, частица находится в определенном энергетическом состоянии, то можно провести следующее преобразование (опускаем знаки суммирования):

142

Множитель 1/(γ)f , умноженный на элемент объема в импульсном

пространстве df , образует инвариант. Матрица ρ, определенная выше-

приведенным соотношением, является ковариантной, и ее матричные элементы вычисляются с помощью выражения

Квадрат модуля амплитуды определяет вероятность нахождения системы в спиновом состоянии α и с импульсом f . Среднее значение опера-

тора ˆ в начальном состоянии с импульсом определяется выражением

O f

Аналогично записывается среднее значение оператора в конечном со-

Связь между двумя матрицами плотности осуществляется через матрицу рассеяния следующим образом:

Можно ввести понятие унитарно сопряженного оператора ˆ + сле-

A

дующим образом: (AU )+ =U + A+ , где U представляет спинор, причем

U + =U *β. Тогда применительно к S-матрице получается соотношение

S + = βS β , где верхний знак ( ) у S означает комплексное сопряжение.

Применение релятивистских формул (41) и (42) приводит в с.ц.м. к дифференциальному сечению, как и в нерелятивистском случае. Такой же вывод справедлив и в отношении поляризации. В случае параметров поворота спина в горизонтальной плоскости появляется только дополнительный кинематический фактор.

143

Список литературы

Stapp H.P. Phys. Rev. 103 (1956) 425.

§22. Релятивистское нуклон-нуклонное рассеяние

B предыдущем параграфе мы рассмотрели случай, когда как в начальном, так и в конечном состоянии имелось только по одной дираковской частице. Теперь рассмотрим случай, когда и в начале, и в конце реакции имеются две частицы со спином 1/2. Конкретно мы рассмотрим упругое рассеяние нуклона на нуклоне.

Каждый из нуклонов имеет свой полный набор спиновых операторов, действующих в двух независимых спиновых пространствах. Приведем эти операторы [Бьеркен (1978 )].

В спиновом пространстве первой частицы:

в спиновом пространстве второй частицы:

Мы имеем 16 членов в соотношении (1) и столько же в соотношении

(2). Матрица рассеяния будет составлена из прямого произведения этих членов, т.е. 16 ×16 = 256, как и в нерелятивистском случае. Соответственно, будет столько же амплитуд. Необходимо накладывать допустимые физические условия, чтобы сократить это число до минимально возможного.

По аналогии со случаем пион-нуклонного рассеяния (см. предыдущий параграф), но с учетом наличия четырех нуклонов введем матрицу

Здесь k и k′ обозначают начальные и конечные относительные импульсы. Можно ввести условие теории “дырок” и получить

γ(1)(t)Sq (k',t,k)γ(1)(t) = Sq (k',t,k)

Матрицу Sq (k',t,k) можно разложить по произведениям 16 спиновых матриц частицы 1 на 16 спиновых матриц частицы 2 (см. (2)). Основная

144

задача состоит в том, чтобы существенно сократить количество получившихся 256 членов. Для этого рассмотрим член, возникающий из произведения тензорных операторов:

Из первого условия в равенстве (4) , примененного к этому члену, получается

Здесь принято во внимание, что Cληtη = −tλCλη . Исключая подобным

+Gλ(2)(iγ(2)5 γ(2)λ ) + Cλ(1) γ(1)(t)(iγ(1)5 γ(1)λ ) +

+Cλ(2)γ(2)(t)(iγ(2)5 γ(2)λ ) + Gλρ(iγ(1)5 γ(1)λ ) (iγ(2)5 γ(2)ρ) +

+F (3)γ(1)(t) γ(2)(t)+ Eλ(1)γ(2)(t)(iγ(1)5 γ(1)λ) + Eλ(2)γ(1)(t)(iγ(2)5 γ(2)λ) +

+Dλ(1)γ(2)(t)γ(1)(t)(iγ(1)5 γ(1)λ) + Dλ(2)γ(1)(t)γ(2)(t)(iγ(2)5 γ(2)λ) +

+Hλρ(1)(iγ(1)5 γ(1)λ )γ(2)(t)(iγ(2)5 γ(2)ρ) +

+Hλρ(2)(iγ(2)5 γ(2)λ )γ(1)(t)(iγ(1)5 γ(1)ρ).

Все входящие в матрицу рассеяния параметры являются функциями импульсов k, k′ и t. Эти параметры ортогональны t по всем индексам. Например, tλHλρ = tρHλρ = 0. Аналогично и для остальных членов.

145

Нетрудно сгруппировать члены в соотношении (10). Например, первые

(12а)

Поскольку матрица рассеяния должна быть скалярной функцией, то параметры Gλ(1)±± и Gλ(2)±± должны быть псевдовекторами. Из имеющихся трех импульсов можно образовать единственный псевдовектор

Чтобы можно было преобразовать тензорные члены Gλρ±± , введем в

дополнение к t и n два нормированных вектора s и d следующим образом: sλ = Ns {kλ + kλ'−tλ[tρ(kρ + kρ')](t t)−1}, dλ = Nd (kλ − kλ '). (15)

Четыре вектора t, n, s и d образуют набор ортонормированных векторов, по которым можно разложить тензоры второго ранга Gλρ±± . Соотно-

шение (12а) накладывает ограничения на количество членов этого тензора. Дополнительные условия накладывают требования инвариантности

146

матрицы рассеяния относительно инверсии пространственных координат. В результате получается

Требование инвариантности матрицы относительно обращения времени требует обнуления двух последних членов, так как при такой операции вектор d не меняет знака, в то время как вектор s знак меняет.

Окончательно релятивистская матрица упругого нуклон-нуклонного

рассеяния запишется в виде

Sq (k',t, k) = ∑±±[Λ(1)±(t)][Λ(2)±(t)]×

+[(C±±nλnρ + D±±sλ sρ + E±±dλdρ )(iγ5(1)γλ(1) )(iγ5(2)γρ(2) )].

Это и есть релятивистская формула нуклон-нуклонного рассеяния в системе центра масс. Из нее следуют несколько выводов. Первый состоит в том, что количество свободных параметров равно 6, как и в нерелятивистском случае. Во-вторых, для рассеяния антипротонов получаются такие же формулы, что и для протонов. В-третьих, переходя к нерелятивистскому случаю, отбирая состояния только с положительной энергией, мы точно придем к нерелятивистским формулам Вольфенштейна. Как увидим позже, возникают от релятивизма только кинематические поправки, которые относительно легко учитываются.

В системе центра масс релятивистская матрица, даваемая формулой (17), сводится к нерелятивистской матрице Вольфенштейна-Ашкина (где

I (1) , I (2) – единичные матрицы в пространстве частиц 1 и 2).

Эта матрица отличается от использованной нами ранее следующим образом: a = a, c = c, b = m, l = g – h, f = g + h.

Найденные обычным способом выражения измеряемых величин через элементы матрицы рассеяния (18) приведены ниже.

I0 R = 12 Re{(M 00 + 2 cоt θM10 )(M11 + M1−1 − M ss )

cos(θ − θL )− sin2θ [(M11 + M1−1 )M10 − M ss M 01 ]cos θl }

147

I0 A = − 12 Re{(M00 + 2 cot θM10 )(M11 + M1−1 + M ss ) sin(θ−θL )− sin2θ [(M11 + M1−1)M01 − M ssM10 ]sin θl }.

148

Здесь θ, θl – углы рассеяния соответственно в с.ц.м. и в лабораторной системе; θ', θ'L – соответствующие углы для частицы отдачи.

Релятивистским преобразованиям не подвергаются параметры, которые являются либо скаляром, либо имеют лишь компоненты, нормальные к плоскости реакции. Таковыми являются следующие величины: I – сечение, P – поляризация, D, Dt – тензоры деполяризации рассеянной частицы

ичастицы отдачи, корреляционные параметры Cnn и Ann.

Врассмотренном выше формализме релятивистской матрицы реакции использовались представления волновых функций в пространстве угло-

вых моментов и где ось квантования z была фиксированной.

В 1959 г. Джакоб и Вик [Jakob (1959)] предложили проводить релятивистское описание реакции с помощью волновых функций, которые квантуются вдоль оси импульса падающей и рассеянной частиц в с.ц.м. При этом проекция спина на направление импульса частицы принимает два значения: +1/2 или –1/2, и эта проекция называется спиральностью. Обо-

Эти матричные элементы называются спиральными амплитудами. Пусть рассеянная частица движется вдоль оси z′, наклоненной к оси z под углом θ (угол рассеяния). По аналогии с моделью вращающегося волчка матричный элемент (19) может быть разложен по приведенным волновым

функциям симметричного волчка dµJµ′ :

149

Мы ранее показали, что в общем случае из требований инвариантности матрицы рассеяния относительно вращения и отражения пространства, обращения времени и изотопической инвариантности отличными от нуля оказываются пять матричных элементов. Эти же требования в приложении к матрице рассеяния в спиральном представлении накладывают следующие условия:

сохранение четности

После применения этих условий отличными от нуля в спиральном представлении оказываются также пять матричных элементов, и эти элементы обозначаются следующим образом:

Амплитуды ϕi , где i = 1, 2, 3, 4, 5, классифицируются по физике процесса как амплитуды без переворота спина ( ϕ1, ϕ3 ), с однократным переворотом спина ( ϕ5 ) и с двукратным переворотом спина ( ϕ2 ,ϕ4 ).

Связь между матричными элементами в спиральном представлении и представлении углового момента можно получить следующим образом [Jakob (1959)]. Возьмем направление движения падающей частицы как ось квантования спиновой волновой функции. Тогда волновые функции первого и второго нуклонов в спиральном представлении можно написать в виде:

в начальном состоянии

150