Нурушев Введение в поляризационную 2007

Выражение для поляризации конечного нейтрона может быть найдено с помощью формулы, аналогичной (3). Приведем окончательный результат для s → ∞ и фиксированного t:

+s2 [−t d1 2 + 2(m′2 − m2

+(m + m′)s[(4M 2 −t)Ima1c1* − 2Ms Im(a1c2* + a2c1* )+ s2 Ima2c2* ]+

+(m − m′)s[−t Imb1d1* + (m′2 − m2 )Im(b2d1* +b1d2* )+ s2 Imb2d2* ],)

m и m' – массы Σ- и Λ-гиперонов, а M – масса нуклона. Условие перекрестной симметрии имеет вид:

M c (p1′ p2′ ; p1 p2 )= γ(42)γ(41)C(1)M *T (2)(− p1′ p2 ;−p1 p2′ )C(1)−1 γ(41)γ(42).(36)

Здесь Mc (p1′ p2′ ; p1 p2 ) – амплитуда реакции (31), T(2) означает транспонирование по спиновым индексам гиперонов, а С – матрица зарядового сопряжения, удовлетворяющая условиям CγTµC−1 = −γµ и СT = –С. Отме-

тим, что при написании выражения (36) мы опустили несущественный для дальнейшего фазовый множитель, возникающий при зарядовом сопряжении. Очевидно, что амплитуда Mc (p1′ p2′ ; p1 p2 ) имеет тот же вид,

что и амплитуда (32). Соответствующие коэффициенты обозначим a1c , a2c

где u = 2M 2 + m2 + m′2 − s −t .

181

Поляризация нейтрона в реакции (31) получается из (34) и (35) заме-

ведут себя одинаково при s → ∞ и фиксированном t. В этом случае, как видно из выражений (34) и (35), поляризация отлична от нуля. Из (37) и теоремы Фрагмена–Линделефа получаем при s → ∞:

Из (39) и выражений для поляризаций нейтронов в реакциях (30) и (31)

Предположим теперь, что не все функции (38) ведут себя одинаково при s → ∞. Тогда для того чтобы поляризация была отлична от нуля, необходимо, чтобы, по крайней мере, две наиболее быстро растущие функции вели себя одинаково (естественно, что эта пара функций должна входить в виде произведения в числитель выражения для поляризации). Очевидно, что и в этом случае выполняется соотношение (40).

Мы рассмотрели случай одинаковых внутренних четностей Σ- и Λ- гиперонов. Можно показать, что и в случае противоположных внутренних четностей поляризации нейтронов в процессах (30) и (31) связаны соотношением (40).

Обратимся теперь к упругому рассеянию гиперонов и антигиперонов нуклонами:

Амплитуды этих процессов имеют вид (32) – (33) с b2 = d1 = 0 . По-

следние условия вытекают из инвариантности относительно обращения времени. Поэтому все предыдущие соотношения справедливы и для процессов упругого рассеяния (41) и (42), и поляризации протонов отдачи в этих процессах также связаны соотношением (40).

Аналогичным способом можно показать, что поляризации конечных гиперонов и анигиперонов в (41) и (42) удовлетворяют соотношению (40). Заметим, что в случае восьмичленных амплитуд, описывающих процессы

182

(30) и (31), нельзя сделать заключений о соотношении между поляризациями гиперонов и антигиперонов, не зависящих от предположений о характере асимптотического поведения отдельных членов амплитуды при s → ∞ и фиксированном t.

Из сказанного об упругом рассеянии гиперонов ясно, что и при рассеянии нуклонов нуклонами и антинуклонов нуклонами поляризации нуклонов и антинуклонов и соответственно поляризации нуклонов отдачи связаны соотношением (40).

V. В заключение рассмотрим вкратце комптон-эффект на протоне.

где р и р' – импульсы начального и конечного протона, k и ε и k' и ε' – импульсы и поляризации начального и конечного фотонов, K = 1/2 (k +

– k ′ ) δ .

При s → ∞ и фиксированном t поляризация протона отдачи оказывается равной:

и теорему Фрагмена–Линделефа, можно убедиться, что поляризация протона обращается в нуль при s → ∞ и фиксированном t независимо от предположения об асимптотическом поведении амплитуд.

Списоклитературы

Биленький С.М., Рындин Р.М. ЖЭТФ 36 (1959) 1609.

Биленький С.М., Нгуен Ван Хьеу, Рындин Р.М. ЖЭТФ 46 (1964) 1098. Логунов А.А. и др. ЖЭТФ 46 (1964) 1079.

183

Мейман Н.Н. Сб. “Вопросы физики элементарных частиц”. Изд-во АН Арм. ССР, Ереван, 1962.

Неванлина Р. Однозначные аналитические функции. ГИТТЛ, М-Л., 1941.

Померанчук И.Я. ЖЭТФ 34 (1958) 725. Abragam et al. Рhys. Lett. 2 (1962) 310.

Chamberlain O. et al. Bul. Am. Phys. Soc. 8 (1963) 38. Logunov A.A. et al. Рhys. Lett. 7 (1963) 69.

Logunov A.A., Nguyen Van Hieu and Todorov I.T. Рhys. Lett. 12 (1964) 139.

Michel L., Wightman A. Phys. Rev. 98 (1955) 1190. Nguyen Van Hieu Phys. Lett. 9 (1964) 81.

RHIC: Review of particle physics, vol. 593/1-4 (2004) 235.

§27. Модель Редже

В начале 60-х гг. с большим энтузиазмом была воспринята физиками идея итальянского теоретика Т. Редже об аналитическом продолжении амплитуд рассеяния в комплексную плоскость орбитального момента l

[Альфаро (1966)].

Как известно из работ Мандельштама, физические амплитуды в s-, t- и u-каналах представляют единую аналитическую функцию, удовлетворяющую условию перекрестной симметрии. Это значит, что знание амплитуды в одном из этих каналов позволяет определить амплитуды и в других каналах. Идея Редже оказалась очень плодотворной по той причине, что привела к явному предсказанию энергетической зависимости в s- канале, зная полюса амплитуды в t-канале. Краткое изложение математической реализации идеи Редже сводится к следующему.

Как мы знаем из §20, любая из пяти физических амплитуд может быть разложена по парциальным волнам. Для простоты возьмем случай бес-

спиновой амплитуды рассеяния в t-канале и разложим ее по полиномам Лежандра:

Здесь s – квадрат полной энергии в s-канале, t – квадрат полной энергии в t-канале: θt – угол рассеяния в t-канале. Распространяя область оп-

ределения параметра l на всю комплексную плоскость и используя преобразование Зоммерфельда–Ватсона, можно получить формулу

i

184

αi (t ) называются траекториями полюсов Редже. Предполагается, что в

комплексной плоскости значений l имеются только полюса, и что все они лежат на одной линейной траектории

Также предполагается, к чему есть экспериментальные указания, что полюса наблюдаются только при целых значениях l, и в этих точках

Здесь функция β(t) является вычетом амплитуды в полюсе. Подставляя это выражение в (1), устремляя s→∞ при фиксированном значении t,

Это выражение имеет несколько интересных следствий. Первое из них относится к дифференциальному сечению упругого рассеяния. Запишем это сечение:

Используя соотношение (3), это выражение можно переписать следующим образом:

где B = 2α'(0)ln s , s0 – нормировочный параметр. s0

Следовательно, параметр наклона сечения упругого рассеяния должен расти с энергией логарифмически, если наклон траектории α'(0)≠ 0 , и

таким же образом должен сжиматься конус дифракционного рассеяния. Это предсказание было впервые подтверждено экспериментами на У-70 на примере упругого pp-рассеяния в области энергии 10 – 70 ГэВ и в интервале квадрата переданных импульсов t =0,02 – 0,2 (ГэВ/с)2. Аналогич-

ные измерения параметра наклона в упругом π− p -рассеянии были проведены также на вторичных пучках ускорителя У-70 Института физи-

185

ки высоких энергий. Измерения были выполнены в области энергии 25 – 55 ГэВ и в интервале квадрата переданного импульса 0,05 – 0,5 (ГэВ/с)2. Эти опыты показали, что дифракционный конус не сжимается в пион-нуклонном рассеянии. Это означает, что в этих двух рассмотренных процессах ведущими являются разные по типу полюса, хотя ожидается преимущественный вклад вакуумного (померон) полюса. Намечается противоречие экспериментальных результатов с предсказаниями модели Редже.

Второе следствие было извлечено из сопоставления сечения реакции перезарядки

с предсказанием модели Редже. Эта реакция должна проходить через обмен одним ρ-полюсом, имеющим квантовые числа I = 1 (изотопический

спин), четности P = G = +. Если это так, то поляризация в этой реакции должна быть равна нулю. Это происходит потому, что при обмене одним полюсом обе амплитуды реакции (8) с переворотом и без переворота спина получают одинаковые фазы и произведение этих амплитуд становится действительным. Так как поляризация пропорциональна мнимой части интерференции этих амплитуд, то она оказывается равной нулю. Чуть позже мы еще раз затронем эту тему.

Рассмотрим некоторые следствия применения полюсной модели Редже к поляризационным параметрам в упругом πp - и pp -рассеяниях:

Запишем матрицу пион-нуклонного рассеяния в с.ц.м. следующим об-

где G и H – не зависящие и зависящие от спина амплитуды в s-канале, являющиеся функциями s и t; nr = ki ×k / ki ×k – единичный вектор нор-

мали к плоскости рассеяния; знак “+” относится к π+ p -рассеянию, а знак

“–“ относится к π− p -рассеянию.

Мы отметили выше, что при наличии только одного полюса поляризация в модели Редже равна нулю. Рассмотрим случай, когда имеются два полюса – один вакуумный и другой не вакуумный. Амплитуда в s-канале будет представлена в виде суммы амплитуд от двух полюсов в t-канале, а именно:

По определению поляризации P мы имеем для π+ p -рассеяния

I0P=Im(GH )=Im[(G1t+G t2)(H 1t+H t2) ]=Im G1tH t2 +G t2H 1t . (11)

Здесь мы учли, что произведение двух функций от одного и того же полюса является действительной величиной и поэтому

где k = 1, 2, 3,…n, I0 представляет дифференциальное сечение рассеяния для неполяризованных протонов. Напишем теперь формулу для поляри-

зации в случае π− p -рассеяния

Это соотношение означает, что поляризации в процессах упругого рассеяния π+- и π–- мезонов должны быть зеркально-симметричными. Как показывают экспериментальные данные, это предсказание в определенной мере (при небольших t) выполняется.

Полученное выше соотношение (14) может быть применено и к поляризации в упругом рассеянии протонов и антипротонов. Наибольшая энергия, при которой получены данные по поляризации частиц и античас-

трастируют с соотношением (14); знаки поляризации для этих реакций в эксперименте практически одинаковы, в то время как по полюсной модели Редже они должны быть разными.

Следующий вопрос, подлежащий рассмотрению, это энергетическая зависимость поляризации при фиксированных t и асимптотическом s. Пусть по-прежнему имеются два полюса, причем один вакуумный, а другой – не вакуумный, (например, ρ-полюс в случае пион-нуклонного рас-

сеяния или ω-полюс в случае нуклон-нуклонного рассеяния).

Запишем матрицу пион-нуклонного рассеяния через вклады полюсов Редже в t-канале, следуя параметризации, принятой в работе [Rarita (1968)]:

187

ξ j (t)= 1+ τ[e−iπα( )(t]) , sin πα t

и от конкретного процесса; j маркирует полюс и суммирование идет по всем полюсам; α j обозначает траекторию полюса j; в предположении,

что функция вычета факторизуется, параметр ηπj представляет вычет в верхней вершине диаграммы t-канала (пионная вершина), а ηNj и φNj

параметризуют вычет в нижней вершине диаграмм (нуклонная вершина). Определим дифференциальное сечение I 0 , поляризацию P и парамет-

ры тензора поляризации D, R упругого пион-нуклонного рассеяния. Для этого напомним некоторые общие формулы.

Если матрицу плотности начального состояния взаимодействующих частиц обозначим ρi , а конечного ρf , то связь между ними осуществля-

Поляризация находится из формулы (17), если вместо оператора Σˆ

подставить оператор спина sˆ = 12 σˆ :

188

Формула (15), подставленная в (19), еще раз показывает, что поляризация отсутствует при наличии только одного полюса.

Теперь вернемся к энергетической зависимости поляризации при наличии двух реджевских полюсов. Для сечения ограничимся только вакуумным полюсом. Тогда для энергетической зависимости сечения получаем

Разделив выражение (21) на (20), находим энергетическое поведение поляризации

Это теоретическое предсказание модели полюсов Редже в целом согласуется с экспериментальными данными в интервале энергии до 40 ГэВ при – t в интервале до 0,5 (ГэВ/с)2. При больших значениях инвариантного переданного импульса точности экспериментов недостаточны для количественной проверки соотношения (22). Иллюстрация этого утверждения следует ниже.

Рассмотрим теперь нуклон-нуклонное упругое рассеяние. В этом случае, с учетом спина у обеих взаимодействующих частиц, матрица рассея-

ния в представлении Вольфенштейна запишется в общем виде

M (NN ) = a + ic(σr(1) + σr(2))• Nr + m(σr(1) • Nr)(σr(2) • Nr)+

+(g + h)(σr(1) • Pr)(σr(2) • Pr)+ (g − h)(σr(1) • Kr)(σr(2) • Kr).

Вполюсном представлении модели Редже эта матрица приобретает форму [Rarita (1968)]

189

В этой модели рассматриваются полюса с целыми спинами, причем здесь учтены следующие факторы:

• факторизация функции вычета; это позволяет использовать одни и те же параметры в пион-нуклонном и нуклон-нуклонном рассеянии;

• асимптотически амплитуда |g - h| << |g + h|, а |g + h| убывает как s–1

по отношению к амплитудам a, c и m [Sharp (1963), Wagner (1963)];

следовательно, можно положить g = h= 0;

• из соотношения (23) следует равенство c2j − a jm j . Таким образом, в

обсуждаемой модели полюсов Редже матрица нуклон-нуклонного рассеяния содержит всего две независимые амплитуды, чем значительно упрощается задача вычисления наблюдаемых величин.

Матрица рассеяния антинуклонов на нуклонах имеет аналогичный вид формулы, за исключением того, что вклад полюса с нечетной сигнатурой должен входить с противоположным знаком, чем в случае нуклоннуклонного рассеяния.

Результаты работы [Bruneton (1976b)] по сопоставлению экспериментальных данных с предсказаниями модели Редже представлены на рис. 1. Экспериментальные результаты по измерению поляризации обрабатывались по формуле модели Редже, а именно:

P(t)= A(t)sαeff (t ) , где αeff = αR + αP − 2 .

В обработку для нахождения αeff (t) включались все данные от 6 до

45 ГэВ/с. При каждой фиксированной точке –t фитировались данные по поляризации в функции s. Таким путем для интервала 0,1≤ |t| ≤0,5 (ГэВ/с)2

были найдены 5 значений αeff (t) для реакции K + p → K + p (темные точки с ошибками на рис. 1) и 7 точек для реакции pp → pp (светлые точки

190