Нурушев Введение в поляризационную 2007

сможет определить, какой протон, от пучка или от мишени, она регистрирует. В результате счет оказывается в два раза больше, чем следовало из вышеприведенного рассмотрения. Этот факт учитывается тем, что измеренные сечения уменьшаются в два раза для сопоставления с теоретическим сечением. Второй фактор связан с условием антисимметрии (принцип Паули) и приводит к тому, что четные орбитальные моменты входят только в парциальные амплитуды с изотопическим спином, равным Т = 0, а нечетные – в амплитуды с Т = 1. Поскольку орбитальный момент не сохраняется, то для выбранного полного момента J в триплетном состоянии имеются два состояния, отличающихся значениями орбитального момента. В качестве примера упомянем следующие состояния pp-

системы; 3 P2 −3 F2 , 3F4 −3 H4 , и т.д. Для каждой пары таких состояний,

кроме прямых переходов 3 P2 →3 P2 , 3F2 →3 F2 , имеют место и смешан-

ные переходы 3 P2 ↔3 F2 , 3F4 ↔3 H4 . Соответственно, кроме фаз, опи-

сывающих прямые переходы, нужны еще дополнительные параметры для описания смешанных переходов. Такие параметры называются парамет-

рами смешивания, и общепринято обозначать их εJ . Для описания сме-

шанных переходов, при отсутствии неупругих каналов, вводится двухмерная симметричная унитарная субматрица вида

Нет однозначного способа параметризации этой матрицы через фазы. Один из способов был предложен Блатом и Биденхарном [Blatt (1952), Блатт (1954)] и состоит в диагонализации матрицы с помощью унитарного преобразования

Этот набор фазовых сдвигов называется собственным фазовым сдвигом, и он хорош в том случае, когда можно пренебречь вкладом кулоновского взаимодействия.

131

Другой вариант параметризации был предложен в работе [Stapp (1957)] и имеет вид

Эта параметризация оказывается несколько преимущественной по сравнению с параметризацией (15) по той причине, что для малых орбитальных моментов (где ядерное взаимодействие превалирует над кулоновским) она позволяет в чистом виде (без примеси кулоновского вклада) оценить параметры смешивания. Дополнительная выгода от такой параметризации заключается в том, что она позволяет разделить более четко ядерные и кулоновские вклады. По этой причине в фазовом анализе эта параметризация используется чаще.

Связь между представлениями (14) и (16) можно найти, приравняв их друг другу, поскольку они являются элементами одной и той же матрицы. Эта связь выражается следующим образом:

В табл. 1 представлены элементы матрицы M через парциальные волны h. Эти же матричные элементы можно использовать и в случае упругого рассеяния нейтронов на протонах с учетом трех изменений: а) пренебречь кулоновскими амплитудами; б) везде, где встречаются суммы по четным (even) или нечетным (odd) L, распространить суммы по всем L (четным и нечетным); в) умножить полученные суммы на коэффициент

1,2.

Парциально-волновые ядерные амплитуды h выражаются через фазы рассения следующими формулами:

Для синглетных состояний

Для триплетных состояний

132

Таблица 1

Cинглет–триплетные матричные элементы упругого pp-рассеяния в функции парциальных амплитуд h. Вклады кулоновского взаимодействия представлены в явном виде с учетом тождественности протонов

где fc – кулоновская амплитуда

Pl , Pl 1 , Pl 2 – присоединенные полиномы Лежандра нулевого, первого и второго порядков

Для смешанных синглет-триплетных состояний

εNj представляет параметр смешивания для полного момента j; индекс

N означает, что данный параметр относится только к чисто ядерному рассеянию.

Кулоновские амплитуды определяются следующим образом:

где n = e2 и v обозначает относительную скорость в с.ц.м. Применяемые hv

в парциально-волновом анализе симметризованные и антисимметризованные кулоновские амплитуды приведены в табл. 1.

Рассмотрим теперь, каким образом в фазовом анализе можно произвести разделение кулоновского и ядерного вкладов. Поскольку кулоновские силы являются дальнодействующими, а ядерные – короткодействующими, т.е. они слабо перекрываются, то обычно принимается, что фазы чисто

ядерные δN , и кулоновские φ складываются. Тогда можно записать

Эти фазы, обозначенные надчеркнутыми символами с индексами N, называются чисто ядерными фазами. Кулоновские фазы вычисляются через формулы [Stapp (1957)]:

где ε – параметр смешивания для фиксированного индекса j.

Вычисление парциально-волновых амплитуд h производится с использованием формул (9), (16) и (24), а также связи α = 2ikh . Эти выражения

Эти выражения позволяют определить элементы матрицы M через фазовые сдвиги, следовательно, и экспериментальные наблюдаемые определяются через фазы. Значит, можно производить и фазовый анализ.

В табл. 2 приведены выражения для измеряемых величин через амплитуды a, b, c, e, f, связаные линейными соотношениями с матричными элементами, приведенными в табл. 1. Следовательно, экспериментальные данные могут быть использованы в зависимости от обстоятельств либо для проведения фазового анализа, либо для прямого восстановления амплитуд.

135

Таблица 2

Выражения экспериментально измеряемых величин через амплитуды матрицы упругого рр-рассеяния в нерелятивистском случае

Список литературы

Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. М: Изд-во иностр. лит., (1954).

Blatt J.M., Biedenharn L.C. Rev. Mod. Phys. 24, (1952) 258. (Есть пере-

вод: Блат Дж., Биденхарн Л. Сборник “Проблемы современной физики”.

Вып. 6, 1955, стр.7.)

Stapp H.P. et al. Phys. Rev. 105 (1957) 302

Hoshizaki N. Suppl. Prog. Theor. Phys. 42 (1968) 107.

Matsuda M. In: Proc.Vth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1993) 224.

136

§21. Релятивистская матрица пион-нуклонного рассеяния

В предыдущих параграфах мы рассматривали пион-нуклонное рассеяние в нерелятивистском случае, когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя. Это было к месту в начале 50-х гг., когда действовали синхроциклотроны, ускорявшие протоны до энергии 200 – 300 МэВ. Однако уже к середине 50-х гг. кинетическая энергия ускоренных протонов достигла энергии покоя, а затем намного превзошла ее. Фи- зики-теоретики предвидели эту ситуацию и развили ковариантную формулировку матрицы плотности и матрицы рассеяния, которая позволила рассматривать процессы при релятивистских энергиях. Забегая вперед, скажем, что основные результаты такого рассмотрения подтвердили пригодность применения нерелятивистского подхода в с.ц.м., и релятивистские поправки свелись к дополнительному введению угла поворота. При этом такие поправки относились к тем наблюдаемым, которые имели компоненты поляризации в плоскости рассеяния (параметры A, R) и оставляли без изменения параметры, которые имели только нормальные к плоскости рассеяния компоненты поляризации (параметры P, DNN, CNN).

Ниже мы применим релятивистское описание реакции

(в скобках указаны спины частиц), предложенное в работе [Stapp (1956)]. Так как частица b является дираковской частицей со спином 1/2, то она описывается четырехкомпонентной волновой функцией ψ. Причем для

свободной падающей (или начальной) частицы (имеющей положительную энергию) волновую функцию можно записать в виде

i=1

в то время как для античастицы (имеющей отрицательную энергию) волновая функция имеет форму

Здесь f ( f , f0 ) представляет четырехимпульс частицы в базовой системе, где он измеряется (например, в лабораторной системе координат), причем f0 >0; x – четырехмерные пространственные координаты. Каж-

дый из спиноров Ui имеет четыре компоненты Usi , которые определяются соотношениями:

Здесь и далее верхний знак (–) относится к индексам i = 1, 2 (положительная энергия), а нижний знак (+) – к индексам i =3, 4 (отрицательная энергия). Нижние индексы у четырехвектора γ(−iβα,β) обозначают его

матричные элементы; m – масса дираковской частицы. Спиноры нормированы в ковариантной форме следующим образом:

Верхний знак (+) у спинора означает комплексное сопряжение и транспонирование (перевод столбца матрицы в строку или обратно); знак (+)

подразумевает эрмитово сопряжение U + =U β . Можно убедиться с по-

Член в знаменателе справа может быть либо положительным действительным числом, либо положительным мнимым числом. С вводом такого

Мы ранее ввели волновую функцию для начального состояния пионнуклонной системы (см. (2) и (3)). Введем теперь волновую функцию Φ конечного состояния для той же системы. Тогда связь между двумя функ-

Теория “дырок” требует, чтобы частица Дирака, описываемая плоской волной с импульсом f в момент времени Т = - ∞ и плоской волной с им-

пульсом f′ в момент времени Т = + ∞ , имела один и тот же знак энергии. Это значит, что запрещается переход частицы в античастицу и обратно. Это не значит, что матрица рассеяния не может описывать рождение частиц. Но в данном конкретном случае мы интересуемся упругими процессами и поэтому налагается такой запрет. Этот запрет математически запи-

находим

138

Sq (k',t,k) представляет матрицу рассеяния в с.ц.м. с относительны-

ми импульсами k и k ' до и после рассеяния, t – полная энергия в с.ц.м. Теперь, подставляя (14) в (10), получим условие запрета на переход

Чтобы понять глубже смысл этой матрицы, подставим соотношение (15) в (14) и получим

S( f ',t, f ) = (γ( f ',t)γ(t)) Sq (k',t,k)(γ(t)γ(t, f )) . (16)

Преобразование (γ(t)γ(t, f )) связывает систему покоя начальной частицы (Ri-система) с с.ц.м. (С-система для краткости). Также преобразова-

В С-системе t(0,t0) и γ(t) = β и можно показать, что имеют место ра-

Нижний индекс 1 означает, что величины берутся в С-системе. Таким образом, матрица рассеяния может быть записана следующим образом:

Теперь можно истолковать это выражение следующим образом. S- матрица в С-системе представляется произведением двух лоренцпреобразований и матрицы рассеяния Sq. L(f1) преобразует спинор начальной частицы из С-системы в Rf1 -систему, т.е. в систему покоя на-

чальной частицы, где спин физически определяется. Затем унитарный оператор Sq описывает влияние рассеяния на этот спинор. Наконец, второе лоренц-преобразование переводит спинор конечной частицы в С- систему.

139

Так как S-матрица, определенная соотношением (9), имеет ковариантную форму, так же как и γ-матрицы, новая матрица Sq (k',t,k ) должна

быть тоже ковариантной.

Она является матрицей 4 × 4 и может быть разложена по 16 матрицам Дирака, образующим полную систему:

Как и должно быть в общем случае, мы имеем 16 коэффициентов, являющихся функциями относительных импульсов k и k ' , а также полной энергии в с.ц.м. t. Это скалярный параметр A, псевдоскалярный E, векторный B – 4 компоненты, псевдовектор D – 4 компоненты и антисимметричный тензор – 6 компонент. Всего 16 параметров. Если теперь мы наложим условие (15), означающее сохранение знака полной энергии до и после реакции (частица не может превратиться в античастицу и обратно), то возникают следующие ограничения на коэффициенты:

Bµ = −iNB (Btµ),

ный единичный псевдовектор, является обобщением нерелятивистского трехмерного псевдовектора n , перпендикулярного к плоскости рассеяния. Этот релятивистский псевдовектор n имеет следующие свойства:

Коэффициенты B, C, D, так же как и A, являются скалярными функциями энергии и угла рассеяния; µ – масса пиона. Нормировочные коэф-

фициенты NB , NC и ND выбираются таким образом, чтобы выполня-