Нурушев Введение в поляризационную 2007

после предыдущей, они дали название “Вращающиеся электроны и структура спектров” [Uhlenbeck (1926)], откуда и возник термин “спин” (от английского слова “spin” – вращение, верчение). Эта спиновая степень свободы приписывалась непосредственно электрону. Авторы смогли объяснить равенство фактора Ланде двум (фактор Ланде входит в коэффициент пропорциональности между напряженностью магнитного поля и величиной разности энергий расщепленных уровней).

Очевидно, последнее слово в научных исследованиях принадлежит теории. В 1927 г. Паули написал нерелятивистское уравнение (уравнение Паули) с введением сигма-матрицы и двухкомпонентных спиноров, объяснившее многие спиновые эффекты в атомной физике, включая проблему аномальных эффектов Зеемана. В 1928 г. Дирак написал релятивистское уравнение для электрона, откуда, неожиданно для него самого, возникал электрон (и позитрон) с полуцелым спином и требуемым магнитным моментом. К концу 1928 г. спин утвердился как такая же фундаментальная характеристика элементарных частиц, как заряд и масса. Так происходило становление спиновой физики.

Известные элементарные частицы в большинстве своем имеют спины и объединяются в две группы: бозоны и фермионы, в зависимости от того, являются ли их спины целочисленными или полуцелыми. Соответственно эти группы подчиняются либо статистике Бозе-Эйнштейна, либо ФермиДирака. Весьма заметную роль играет спин в динамике взаимодействия частиц, будь оно сильным, слабым или электромагнитным. Однако в то время, как для электрослабых взаимодействий спин описан полностью, для сильных взаимодействий его описание до сих пор является серьезной проблемой. Многие важнейшие открытия в современной физике связаны непосредственно со спином, как, например, сверхтонкое расщепление линий атомов, оболочечные модели атомов и ядер, обнаружение нарушения четности в слабых и электромагнитных процессах, явление “спинового кризиса”, наличие магнитных моментов у частиц и т.д.

По современным представлениям спин появляется как следствие симметрии пространства Минковского по отношению к пространственновременным смещениям и к поворотам четырехмерного пространства. Описывающая эти преобразования группа Пуанкаре имеет два оператора Казимира, которые приводят к двум универсальным наблюдаемым для любой физической системы. Первый из этих операторов приводит к определению массы системы, а второй – к концепции спина [Ji (2002)].

Настоящая книга состоит из трех частей, составляющих основу поляризационной физики. Первая часть содержит теоретическое введение и охватывает широкий круг вопросов. Отметим некоторые из них. Техника создания источников поляризованных ионов, так же как поляризованных газовых мишеней, базируется на расщеплении сверхтонких уровней водо-

11

рода. А эти уровни в области очень низких энергий расчитываются с помощью нерелятивистского уравнения Шредингера. В связи с этим приводится нерелятивистское уравнение Шредингера и его решение с включением сигма-матриц Паули и внешнего магнитного поля. В области средних энергий проводится обсуждение в основном процессов упругого рассеяния. Из-за отсутствия количественной теории сильных взаимодействий в этой области энергии особую роль играет понятие полного опыта. Это понятие основано на том, что матрица рассеяния любого процесса строится исходя из общих принципов инвариантности взаимодействия. При этом особую роль играют спин и его трансформационные свойства (как ведет себя спин при непрерывных и дискретных преобразованиях пространства и времени). В теоретической части обсуждаются общие принципы построении матрицы плотности, матрицы реакции и инвариантов и показываются их применения к конкретным реакциям пион-нуклонного и ну- клон-нуклонного рассеяния. Даются конкретные примеры полных опытов.

При переходе к высоким энергиям для описания процессов нужен аппарат релятивистской квантовой механики. Особенно большая сложность возникает при этом из-за необходимости релятивистского описания спина как для свободной частицы, так и при ее движении в магнитном поле. Правильное описание динамики спина особенно важно для вычисления деполяризующих эффектов при ускорении протонов в ускорителях. Эти проблемы также кратко представлены в первой части книги. Наконец, для интерпретации экспериментальных результатов, приведенных в третьей части книги, нужны теоретические модели динамики взаимодействия частиц, имеющих спин. Ряд таких моделей также включен в эту часть книги.

Вэкспериментальных исследованиях спиновых явлений в физике высоких энергий мы должны иметь пучок частиц с известной степенью ориентации их спина в некотором выделенном направлении. Такая преимущественная ориентация называется поляризацией, поэтому экспериментальную спиновую физику называют также и поляризационной физикой.

Внастоящее время среди поляризационных экспериментов ведущее положение занимают эксперименты по глубоко неупругому рассеянию. В первой части книги на базе самых современных экспериментальных результатов дается краткий обзор ситуации в этих исследованиях.

Поляризационная методика описывается во второй части книги. Она состоит из четырех глав. Всякий эксперимент в области поляризационной физики заключается в рассеянии поляризованных пучков частиц на поляризованной мишени (эксперименты с фиксированной мишенью) или поляризованном пучке (коллайдеры). Первая глава посвящена получению и ускорению поляризованных протонов и электронов. Отдельно рассматривается также уникальный поляризованный мюонный пучок. Вторая глава

12

посвящена поляризованным мишеням. При этом описываются твердотельные поляризованные мишени крупных конкретных экспериментальных установок, так что можно их сопоставить по многим параметрам. На ускорителях особенно успешно используются поляризованные струйные и поляризованные газовые мишени с накопительными ячейками и без них. В третьей главе описываются два источника поляризованных ионов с рекордными параметрами. Четвертая глава посвящена поляриметрии, направлению, связанному с измерением поляризации пучков и мишеней.

Третья часть книги называется “Поляризационные эксперименты и результаты”. Здесь скомпилированы новейшие результаты, полученные на крупнейших установках. Особо отмечается, что поляризация является наиболее чувствительным инструментом при проверке предсказаний Стандартной модели (СМ) и квантовой хромодинамики (КХД). К настоящему времени достаточно точно определены функции распределения поляризованных валентных кварков, хуже — морских кварков и практически не удается пока определить спиновые функции распределения глюонов. С хорошей точностью измерены одиночные асимметрии, т. е. неоднородности азимутального распределения вторичных частиц, возникающие при взаимодействии поляризованных пучков и мишеней. Вопреки теоретическим ожиданиям спиновые эффекты выживают в инклюзивном образовании пионов в области фрагментации поляризованной частицы до энергии в системе центра масс (с.ц.м.), равной 200 ГэВ. Такая же большая асимметрия обнаружена впервые у инклюзивно образованных нейтронов в той же кинематической области. Обсуждаются также эффекты передачи информации о спине при взаимодействиях.

Мы приходим к заключению, что нерешенных проблем в поляризационной физике еще очень много. И потому физиками, работающими в этой области, разрабатываются новые программы поляризационных исследований.

Список литературы

Fidecaro G. In: Proc. 13th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1998) 50.

Ji X. In: Proc. 15th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Upton, New York (2002) 3.

Pauli W. Zeitschr. f. Phys. 31 (1925a) 373. Pauli W. Zeitschr. f. Phys. 31 (1925b) 765.

Uhlenbeck G.E.and Goudsmit S. Nature 13 (1925) 953.

Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 117 (1926) 264.

13

Часть I. Основы теории поляризации

В этом разделе учебного пособия мы вкратце напомним об основных элементах нерелятивистской и релятивистской квантовой механики, которые будут полезны в дальнейшем для понимания материала. Мы старались, по возможности, изложить также основные законы сохранения, следующие из собственных и обобщенных преобразований Лоренца, а также из дискретных преобразований. Цель любого экспериментального исследования, особенно относящихся к адронной физике, состоит в том, чтобы накопить максимально полную информацию об иcследуемой реакции. Исходя из такого подхода, мы стремились достаточно полно изложить определение полного набора экспериментов в пион-нуклонном и нуклоннуклонном взаимодействиях. Учитывая сложность самого понятия спин [Tomonaga (1992)], отсутствия у него классического аналога, мы приводим разные варианты определения спина и разные его трансформационные свойства.

Мы рассматриваем теоретическую часть как необходимый инструмент для понимания основ технических методов поляризационной физики и основу для анализа результатов поляризационных экспериментов [Фейнман (2004), Ферми (1965)]. Такая компиляция материалов преследовала также цель меньше всего отвлекать читателей на поиск дополнительных источников информации.

Список литературы

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.

Вып. 8-9, Квантовая механика. 3-е изд., испр. М.: Едиториал УРСС, 2004.

Ферми Э. Квантовая механика. М.: Издательство МИР, 1965.

Tomonaga S. The story of spin. The university of Chicago Press, Chicago and London (1992).

14

Глава 1. Спин и его свойства

Очевидно, прежде чем описывать спин, мы должны определить само понятие “спин”. В 1925 г. Гаудсмит и Уленбек [Uhlenbeck (1925), Uhlenbeck (1926)] выдвинули гипотезу о том, что наряду с массой и зарядом электрон обладает еще и собственным механическим моментом количества движения и магнитным моментом. Этот внутренний момент количества движения был назван спином и обозначается символом s (начальная буква английского слова spin – вращение, верчение). Этот момент количества движения не связан с внешним орбитальным движением частицы. Трудно усвоить понятие “внутренного” момента количества движения применительно к элементарной частице, каковым является электрон. Распространим гипотезу о спине на ядро и используем аргументы из книги [Ландау (1963)]. Поскольку ядро – сложная система, состоящая из нуклонов, то его состояние должно определяться не только внутренней энергией, но и “внутренним моментом количества движения нуклонов” L. Момент L ядра определяется распределением по импульсу этих нуклонов внутри ядра и может иметь 2L+1 значений. Таким образом, распределение по импульсу нуклонов внутри ядра и определяет его спин. Аналогичные соображения можно применить и к нуклонам. В кварковой модели нуклон состоит из трех кварков, связанных глюонами. Распределение по импульсу кварков и глюонов внутри нуклона и определяет спин нуклона. По наивной кварковой модели спин нуклона должен на 100 % определяться спинами валентных кварков. Однако в 1984 г. сотрудничество EMC (European Muon Collaboration) обнаружило, что валентные кварки вместо 100 % несут только около 25 % спина нуклона. Этому явлению присвоили название “спинового кризиса”. Так что проблема о происхождении спина протона не имеет пока количественного объяснения в партонной модели.

Вслучае электрона (точечной частицы) мы не можем найти такое простое объяснение происхождению спина, так как спин является квантовомеханическим оператором и не имеет аналога в классической физике.

Гипотеза о спине открыла возможности для простого объяснения огромного количества экспериментальных фактов.

В1929 г. Мотт поднял вопрос о возможности прямого экспериментального определения магнитного момента (соответственно спина) электрона [Mott (1929)]. Он показал, что принцип неопределенности не позволяет измерить спин электрона непосредственно в опытах, как например, в опытах Штерна–Герлаха [Dehmelt (1990) ]. В то же время он предложил эксперимент, который позволяет определить удвоенное среднее значение спина, или иначе поляризацию, путем двойного рассеяния электронов [Mott (1932)]. Суть эксперимента состоит в следующем. Неполяризован-

15

ный электронный пучок низких энергий рассеивается на мишени с большим зарядом на большие углы. Вследствие спин-орбитального взаимодействия рассеянные электроны должны быть поляризованы. Эти поляризованные электроны рассеиваются в той же плоскости на второй такой же мишени. Измеряется лево-правая асимметрия на второй мишени. Эта асимметрия равна произведению поляризации электронов после первого рассеяния на анализирующую способность второго рассеяния. Очевидно, сам факт ненулевой асимметрии подтверждает наличие поляризации, т. е. спина у электрона. Было предпринято несколько попыток увидеть в эксперименте этот эффект, однако, в силу разных проблем, они завершались безуспешно. Только в 1943 г. был успешно выполнен первый такой эксперимент, результаты которого полностью подтверждали предсказания Мотта [Schull (1943)]. В этих измерениях использовался поляриметр Мотта, о чем можно получить подробную информацию в обзорной статье

[Gay (1992)].

Список литературы

Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивист-

ская теория). М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1963.

Dehmet H. Science 247 (1990) 539.

Gay T.J. Rev. Sci. Instrum. 63 (1992) 1635.

Mott N.F. Proc. R. Soc. A124 (1929) 425.

Mott N.F. Proc. R. Soc. A135 (1932) 429. Schull C.G. et al. Phys. Rev. 63 (1943) 29.

Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 113 (1925) 953.

Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 117 (1926) 264.

16

§1. Элементы нерелятивистской квантовой механики

Спин является исключительно квантовой характеристикой объектов микромира, и для его описания требуется аппарат квантовой механики как нерелятивистской [Бете (1980)], так и релятивистской [Дирак (1960)]. В этом разделе мы рассмотрим вкратце те основные элементы нерелятивистской квантовой механики, которые потребуются нам при изложении материалов по поляризационной физике [Шпольский (1984а), Шпольский (1984b)]. Ниже, в §7, мы изложим необходимые нам элементы также из релятивистской квантовой механики. При этом мы используем материалы из монографий, перечисленных ниже в списке литературы.

Напомним основные понятия, используемые в квантовой механике. В квантовой механике очень часто используются линейные операторы.

Сведения об операторах приводятся в соответствии с работой [Ферми (1965)]. Операторы действуют на функции, которые задаются на некоторой области. Примерами областей могут быть числовая ось x (одномерное или линейное пространство), набор точек, точки на поверхности сферы, трехмерное пространство чисел x, y, z. Функции можно рассматривать как векторы в пространстве, причем пространство может иметь конечное или бесконечное число измерений. В общем случае оператор представляет собой правило (математическую операцию), по которому из функции f получается функция g:

Операторы будем обозначать буквой со “шляпкой”. Функции и операторы в квантовой механике являются в общем случае комплексными.

Среди операторов ˆ должен существовать единичный или тождествен-

O

Практически любому математическому действию можно сопоставить соответствующий оператор.

В квантовой механике важную роль играют линейные операторы. Они удовлетворяют требованию

для любой пары функций f и g и любых постоянных комплексных чисел α и β. Примерами линейных операторов являются умножение на числовые множители, на функции, операции дифференцирования, интегрирования и т.д.

17

где x = x1, x2 ,... – совокупность всех непрерывных аргументов, например, координаты, а m – дискретная переменная.

19

ется вновь та же самая функция, умноженная на некоторое число

“стандартным условиям” (совокупность требований ее конечности, непрерывности и однозначности во всей области изменения ее независимых аргументов) и условию квадратичной интегрируемости (интеграл от квад-

рата модуля функции есть конечное число), то ψm называется собствен-

ветствующим собственной функции ψm .

Определим матричный элемент оператора соотношением:

Введем понятие эрмитова (самосопряженного) оператора. Каждому

независимые непрерывные переменные, а интегрирование распространяется на всю область изменения независимых переменных (фазовое пространство), причем звездочкой, как обычно, обозначается операция комплексного сопряжения. Если оператор, сопряженный данному, совпадает с ним самим, то в таком случае оператор называется самосопряженным

или эрмитовым. В этом случае ∫ψ Fϕ dX =∫(Fψ)ϕ dX . Существует

* ˆ ˆ *

важная теорема, утверждающая, что собственные значения самосопряженного оператора действительны. Докажем ее. Имеем

Умножаем уравнение (19) слева на ψ+m , а уравнение (20) справа – на ψm . Вычитая одно из другого получившиеся выражения и учитывая, что