Нурушев Введение в поляризационную 2007

Это выражение с точностью до постоянного множителя представляет угловую часть оператора Лапласа.

Теперь можно заняться определением собственных значений проекции момента импульса на некоторое выбранное направление. Выше мы заготовили формулы в сферической системе координат, и в ней мы будем ра-

ботать. Вначале рассмотрим оператор lˆz , определенный соотношением

(24). Так как мы ищем собственное значение этого оператора, то мы должны записать уравнение для его собственной функции

Здесь lz без операторного символа наверху (для краткости будем го-

ворить – без “шляпки”) обозначает собственное значение оператора lˆz .

Здесь f (r,θ) – произвольная функция своих аргументов. Чтобы функция ψ была однозначной, она должна быть периодической с периодом 2π. Выпишем для экспоненциального члена условие такой периодичности: eilz ϕ = eilz (ϕ+2π) , следовательно, 1 = eilz (2π) . Отсюда следует, что lz = m, где m = 0, ±1, ±2…. Таким образом, m принимает положительные и отрицательные целочисленные значения, включая 0. Введем нормированную собственную функцию оператора lˆz

где нормировка задается соотношением

2π

∫Φ*ν (ϕ)Φν' (ϕ)dϕ = δvv' . (30)

0

Следовательно, собственная функция оператора lˆz в общем виде может быть записана как

Перейдем к поиску максимальных и минимальных значений lz . Переписав соотношение (18)

видим, что поскольку в правой части стоят операторы положительных величин, то и левая часть должна быть положительной. Следовательно,

ний (22) и (26), находим

(34)

Отсюда видно, что функция lˆ±ψm является собственной функцией

оператора lˆz с собственным значением (m ±1) с точностью до нормировочного множителя. Значит, можно написать

на единицу, в то время как оператор lˆ− понижает собственное значение m на единицу. Если в первом соотношении в (35) положить m = l, то получится ψl +1 = 0 , так как наибольшее значение m может быть равным l. Итак, мы получили

Применим к этому равенству оператор lˆ− и, воспользовавшись соот-

Так как ψl является одновременно собственной функцией всех трех

Эта формула определяет собственные значения оператора квадрата углового момента. Величина l пробегает любые целые положительные значения от нуля и выше. При заданном значении l собственные значения

32

оператора lˆz пробегают значения m = – l , –( l –1), –( l 2)…0…( l –2), ( l –1), l , т.е. всего (2 l +1) значений. Параметр m называют также магнитным

квантовым числом или проекцией орбитального момента lˆ на ось z, и он приводит к “квантованию пространства”.

Перейдем к вычислению матричных элементов операторов lˆx и lˆy в

представлении, где диагональны матрицы энергии, lˆz и lˆ2 .

Если оператор — это правило, по которому каждому вектору ψ евкли-

дова n-мерного пространства ставится в соответствие вектор ϕ такого же пространства, то мы можем записать преобразование одного вектора в

n

другой в виде ϕj = ∑a jk ψk . В матричных обозначениях можно запи-

k =1

сать ϕ = Àψ . Тем самым каждой матрицей порядка n×n задается некоторый оператор в n-мерном евклидовом пространстве.

Поскольку операторы lˆx и lˆy коммутируют с оператором Гамильтона

и оператором lˆ2 , то их матричные элементы будут отличны от нуля только в переходах, где энергия и l не меняются. Это значит, что мы мо-

жем ограничиться вычислениями матричных элементов операторов lˆx и lˆy между разными значениями m.

Из формулы (35) мы видели, что оператор lˆ− переводит состояние

m+1 в m, а lˆ+ осуществляет переход m–1 в m.

Имея это в виду и применяя соотношения (15), находим, записывая

Вследствие эрмитовости операторов lˆ+ и lˆ− , которая следует из эрми-

Из этих соотношений можно найти отличные от нуля матричные эле-

Эти соотношения окажутся полезными в последующих главах (полагая l полуцелым, получим матрицы Паули, к которым мы и перейдем в следующем параграфе).

Список литературы

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Том 3. Нерелятиви-

стская теория. М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1963.

Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. Шпольский Э.В. Атомная физика. В 2-х т. 7-е изд. М.: Наука, 1984.

§3. Спиновый оператор Паули

Спином принято называть собственный внутренний момент количества движения частицы, принимающий дискретные значения. В случае, когда частицы имеют целочисленные спины, такие частицы называются бозонами. В качестве примера таких частиц можно назвать фотоны, векторные мезоны, глюоны, промежуточные бозоны. Спин может принимать и полуцелые значения. Частицы, имеющие полуцелый спин, называются фермионами. Примерами таких частиц являются нуклоны, электроны, нейтрино, мюоны, кварки. Весь мир элементарных частиц, без исключения, можно классифицировать по спину как принадлежащие либо к бозонам, либо к фермионам [Кейн (1990)]. Соответственно, они описываются либо статистикой Бозе–Эйнштейна, либо статистикой Ферми–Дирака.

Гипотеза о наличии у электрона внутреннего момента количества движения предлагалась многими физиками и в разной форме [Fidecaro (1998)]. Наиболее четкая формулировка этой гипотезы была высказана голландскими учеными Г. Уленбеком и С. Гаудсмитом в 1925 г.

34

[Uhlenbeck (1925), Uhlenbeck (1926)] для объяснения наличия сверхтонких структур в энергетических уровнях водородоподобных атомов. Спин появился как оператор в квантовой механике в 1927 г. благодаря В. Паули.

Особенно важную роль играет спин в слабых распадах частиц [Окунь (1990)]. Как пример можно отметить, что одно из крупнейших открытий в физике прошлого столетия, а именно, открытие несохранения четности в слабых взаимодействиях, было сделано на поляризованных частицах (бе- та-распад поляризованных ядер), т.е. с применением спина [Ли (1968)].

При этом оба оператора, действующие в пространстве спинов, являются аксиальными векторами в обычном координатном представлении. Опе-

ратор σˆ в системе покоя частицы имеет вид

Коммутационные свойства матриц Паули σ можно выразить следующим соотношением:

ничный антисимметричный тензор третьего ранга (оба тензора – в трехмерном пространстве).

Из соотношения (3) можно вывести правила для коммутаторов и анти-

Из этих соотношений можно вывести ряд полезных свойств. Вопервых, как видно из (3а), произведение двух разных компонент спинового оператора сводится к первой степени третьей компоненты этого оператора. Это значит, что любая матрица в двухмерном спиновом пространстве не может содержать сигма-матрицу выше первой степени, т.е. является линейной функцией оператора Паули. Во-вторых, компоненты спинового оператора антикоммутируют между собой. В третьих, квадрат каждой компоненты спина равен единичной матрице I. Из соотношений (3), (3а), (3b) можно получить полезное равенство

35

где векторы A и B не зависят от спиновых переменных. Оператор σrˆ является эрмитовым, что можно проверить непосредственным преобразованием матриц Паули, и, следовательно, его собственное значение будет

действительным числом. Значение оператора σrˆ , усредненное по спиновым состояниям частицы, называется вектором поляризации P :

следует, что собственное значение квадрата спинового оператора sr2 = 14 σr2 = 34 .

В то же время можно показать, что величина вектора поляризации Р по модулю всегда меньше единицы [Биленький (1964)] | P |≤1. Это будет

доказано позже.

Трансформационные свойства (свойства при преобразовании координат) спинового оператора (соответственно и оператора Паули) можно определить по аналогии с оператором орбитального момента частицы, с которым складывается спин, образуя полный момент частицы,

rj = sr + l .

В общем случае из требования изотропности пространства можно получить следующие соотношения для компонент углового момента коли-

чества движения j частицы [Ландау (1963)].

Заменяя в этих уравнениях момент количества движения j на спино-

дующий параграф), мы получим уравнения для нахождения собственных функций и собственных значений спиновых операторов. Из этих же уравнений можно вывести приведенные выше коммутационные соотношения для спиновых операторов (3, 3a, 3b) так же, как и явные выражения для матриц Паули (2). Более того, соотношения (7) – (9) позволяют найти яв-

36

ные выражения для спиновых операторов любого ранга, в том числе для спина дейтрона (s = 1).

Спиновый оператор rˆ представляет собой псевдовектор, т.е. при вра- s

щении системы координат он преобразуется как обычный вектор, а при отражении системы координат спин, как и орбитальный момент, не меняется, т.е. является аксиальным вектором. При обращении времени спин так же меняет знак, как и орбитальный момент. Мы уже отмечали ранее, что использование аналогии с орбитальным моментом для определения трасформационных свойств спинового оператора является самым простым и достаточно убедительным.

Список литературы

Биленький С.М., Лапидус Л.И., Рындин Р.М. УФН 84 (1964) 241.

Кейн Г. Современная физика элементарных частиц. М.: МИР, 1990. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Государственное издательство физико-математической лите-

ратуры, 1963.

Ли Ц., Ву Ц. Слабые взаимодействия. М.: МИР, 1968.

Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М.: НАУКА, 1990.

Fidecaro G. In: Proc. 13th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1998) 50.

Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 113 (1925) 953.

Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 117 (1926) 264.

§4. Спиноры

Пусть ψ(x, y, z;σ) есть волновая функция частицы со спином σ (мы

следуем обозначениям первоисточника, поэтому не следует путать σ с матрицей Паули), σ в данном случае означает z-компоненту спина и пробегает значения от –s до +s [Ландау (1963)]. О функциях ψ(σ) с различ-

ными значениями σ будем говорить, как о “компонентах” волновой функции.

Переменная σ отличается от обычных переменных (координат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного оператора, действующего

на функции от дискретной переменной σ, есть

где fσσ′ – постоянные. Выражение (fˆψ) заключено в скобки, чтобы показать, что аргумент (σ) относится уже не к функции ψ , а к функции,

возникшей под действием оператора fˆ на функцию ψ . Можно показать,

что величины fσσ′ совпадают с матричными элементами оператора fˆ , определенными обычным образом. Отсюда операторы, действующие на

функции от σ, могут быть представлены в виде 2s+1-рядных матриц. При равном нулю спине волновая функция имеет всего одну компо-

ненту ψ(0). Поскольку операторы спина связаны с операторами поворо-

та, то это значит, что волновая функция частицы со спином 0 не меняется при поворотах системы координат, т.е. является скаляром или псевдоскаляром.

Волновые функции частиц со спином 1/2 имеют две компоненты ψ(1/ 2) и ψ(−1/ 2). Будем обозначать их ψ1 и ψ2. При произвольном повороте системы координат они подвергаются линейному преобразованию:

фукциями углов поворота. Линейные преобразования (2), оставляющие инвариантной билинейную форму

называются бинарными. Двухкомпонентную же величину (ψ1, ψ2 ), пре-

образующуюся при повороте системы координат по бинарному преобразованию, называют спинором.

Рассмотрим спиноры χsm (s – величина спина, m – его проекция), яв-

ляющиеся собственными функциями оператора квадрата спина sˆ2 и оператора проекции спина sˆz . Предположим, что они определены в данной

системе координат K с осями (x, y, z). Пусть новая система координат K′ с осями (x′, y′, z′) получена из K поворотом вокруг оси z на угол φ. Оператор бесконечно малого поворота на угол δϕ вокруг оси z выражается с по-

мощью оператора момента (в данном случае – спина) в виде 1+ iδϕ sˆz . Поэтому в результате поворота волновые функции ψ(σ) перейдут в

ψ(σ)+ δψ(σ), где δψ(σ)= iδϕ sˆzψ(σ). Но sˆzψ(σ)= szψ(σ), так что

38

производим вращение на угол ε. Тогда оператор вращения записывается в виде (см. (5))

Рис. 1. Преобразование Эйлера

При таких поворотах вектор спина, так же как и орбитальный момент, преобразуется как обычный вектор, а именно (поворот против часовой стрелки вокруг оси z):

Из формулы (4) видно, что спинор χ при вращении системы коорди-

нат на угол 2 π меняет знак. Это свойственно практически всем спинорам, описывающим частицы с полуцелым спином. Однако квадрат спинора

| χ |2 является положительно определенной функцией, как и должно быть,

так как эта величина соответствует вероятности нахождения частицы в определенном спиновом состоянии.

В качестве примера найдем явный вид операторов Паули в системе покоя частицы.

Приведенные в предыдушем параграфе формулы (§3 (7), §3 (8), §3 (9)) применимы и к спиновым операторам. В рассматриваемом случае частицы со спином s = 1/2 введем для упрощения обозначения

40