Нурушев Введение в поляризационную 2007

где ε обозначает угол между вектором поляризации протона и его импульсом в лабораторной системе координат; β0 , γ0 ,θ – скорость, лоренц-

фактор и угол испускания протона в системе покоя Λ0 ; βΛ – скорость

Λ0 в лабораторной системе. Из формулы (3) следует, что если угол испускания протонов равен нулю, то мы имеем практически продольнополяризованный протонный пучок.

Список литературы

Dalpiaz P. and Jansen J.A. ECFA, CERN, vol. 1 (1972) 284. Frenkel J. Z. Physik 37 (1926) 243.

Galbraith W. and Williams W.S.C. (editors). High Energy and Nuclear Physics Data Handbook. Rutherford High Energy Laboratory, Chilton (1963).

Grosnick D.P. et al. Nucl. Instr. Meth. A290 (1990) 269.

Leader E. Spin in Particle Physics. Cambridge University Press, 2001. Stapp H.P. Phys. Rev. 103 (1956) 425.

Thomas L.H. Nature 117 (1926) 514.

Thomas L.H. Phil. Mag. 3 (1927) 1.

Thomas L.H. Nature 117 (1926) 514.

Tomonaga S.I. The Story of Spin. The University of Chicago Press (1997).

81

Глава 2. Спин в сильных взаимодействиях

В этом разделе мы изложим основные теоретические соотношения, составляющие базу для постановки и анализа поляризационных экспериментов в сильных взаимодействиях. Изложение проводится на классических примерах пион-нуклонного и нуклон-нуклонного рассеяний. После введения матрицы плотности, матрицы реакций, на примере простой пи- он-нуклонной системы рассмотрены такие понятия, как полный набор

опытов, равенство поляризации P в прямой реакции и асимметрии A в обратной реакции. На примере нуклон-нуклонной системы излагается метод явного построения матрицы реакции, сформулировано условие унитарности, указаны возможности поиска эффектов нарушения пространственной четности и принципа обратимости времени. Изложение в основном построено на аппарате нерелятивистской квантовой механики. В заключительных параграфах обсуждаются релятивистские матрицы упругого пион-нуклонного и нуклон-нуклонного рассеяния. Отмечается, что учет релятивизма не приводит к существенному изменению результатов, полученных в нерелятивистском подходе.

§13. Матрица плотности

Как известно, частица со спином s описывается волновой функцией

Ψ, имеющей 2s + 1 компонент Ψα , где α = s , s – 1, ..., 0, ..., – (s – 1), – s.

Если α равна только одному из этих значений, тогда говорят, что частица находится в чистом спиновом состоянии. В этом случае среднее значение

любого оператора ˆ находится из соотношения

O

< O >= Ψα O Ψα .

Однако на практике чаще всего α принимает несколько значений. Тогда мы имеем дело со смешанным состоянием. Простым примером является поляризованный протонный пучок. Если он имеет поляризацию 100 %, то мы говорим о чистом спиновом состоянии – спины всех протонов ориентированы одинаково. Когда пучок поляризован частично, то протоны находятся в смешанном спиновом состоянии. Это значит, что часть протонов ориентирована, скажем, вверх, а другая часть – вниз. В

этом случае среднее значение произвольного спинового оператора ˆ в

O

смешанном по спину состоянии Ψ определяется следующим образом:

т.е. среднее значение ρ представляет действительное число. Определим

сумму диагональных элементов произвольной матрицы ˆ (ее “след”):

C

Последний член в этом равенстве показывает, что под знаком следа можно переставлять два оператора, даже если они не коммутируют. Но в общем случае возможен только циклический сдвиг по или против часовой стрелки без перестановки операторов (если они не коммутируют).

Таким образом, для нахождения среднего значения оператора ˆ нуж-

O

но умножить его на матрицу плотности и взять сумму диагональных элементов получившейся матрицы.

Из теории матриц известно, что любая матрица ранга m = n = (2s+1)

может быть разложена по полной системе (2s+1)2 матриц {sν} того же ранга, образующих полную систему и удовлетворяющих условию ортого-

Подставляя найденные коэффициенты Сµ в (15), окончательно имеем

84

Следовательно, находим окончательное выражение для матрицы плот-

Таким образом, матрица плотности полностью определяется знанием среднего значения операторов sˆ µ . Если теперь принять нормировку, при

которой среднее значение матрицы должно быть единицей, то

С учетом этого условия нормировки запишем окончательное выражение для матрицы плотности

Вышеприведенное изложение было построено на основе работ [Martin (1970)] и [Нурушев (1983)].

Список литературы

Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ 83-192, Серпухов (1983).

Martin A.D. and Spearman T.D. Elementary particle theory. North-Holland publishing company, 1970, Amsterdam.

§14. Матрица реакции

При рассмотрении реакций с участием спиновых частиц мы различаем

волновую функцию начального состояния Ψ и конечного Φ. Матрицу перехода от начального к конечному состоянию М определим следующим образом [Нурушев (1983)]:

α

и конечного состояния

85

где знак ∑ означает усреднение по начальному и суммирование по ко-

α

нечному спиновым состояниям. Из (3) с учетом соотношения (1) находим связь между этими двумя матрицами плотностей:

Следовательно, решение задачи взаимодействия частиц сводится к определению ρˆ H через спиновые матрицы sν и нахождению оператора

Мˆ . Тогда матрица плотности конечного состояния определяется из (4) однозначно, и мы можем вычислить нужную нам наблюдаемую в конечном состоянии.

Найдем оператор ρˆ k в зависимости от sν и М. Для этого умножим (4) справа на sµ и вычислим “след” произведения матриц:

и окончательно получим выражение для среднего значения спинового оператора sµ:

Это выражение позволяет находить среднее значение любого спинового оператора sµ в конечном состоянии при известных параметрах на-

чального состояния < sν > и матрицы рассеяния М. Рассмотрим конкретные реакции типа

или в спиновых обозначениях 0 + 1/2 → 0 + 1/2 (спин пиона равен нулю, спин нуклона равен 1/2). Мы имеем двумерное спиновое пространство, и в качестве полного набора спиновых операторов можно использовать

матрицы Паули σ (σx, σy, σz) и единичную матрицу 1. Тогда матрицу

Найдем коэффициенты С0 и С1 . Из условия нормировки на единицу

В справедливости соотношения (13) можно убедиться, написав матри-

Пусть нуклон в начальном состоянии поляризован и имеет вектор поляризации Pt (индекс t обозначает мишень). Напишем для начального состояния

Здесь ek – единичные орты в декартовой системе координат и исполь-

Это равенство может быть легко доказано с помощью соотношений (14). Таким образом, получим:

Следовательно, ρˆ -матрица целиком определяется заданием вектора

поляризации мишени Pt (или пучка PB в случае реакции типа

1/2+0→1/2+0).

Отметим здесь, что в силу свойств сигма-матриц в выражение (18) не могут войти операторы выше первой степени, так как все они сводятся максимум к оператору первой степени.

Список литературы

Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ 83-192, Серпухов (1983).

§15. R-, P-, T-преобразования

B следующем параграфе мы будем рассматривать упругое рассеяние нуклона на нуклоне и, следуя методу Вольфенштейна и Ашкина [Wolfenstein (1952)], построим матрицу упругого рассеяния. Здесь, в качестве подготовки, рассмотрим ограничения на эту матрицу, которые возникают из физических требований изотропности пространства (R-операция), инверсии пространственных координат (P-операция ) и обращение времени (T-операция). При дальнейшем изложении в этом параграфе будем следовать работе [Биленький (1961)]. В представлении взаимодействия (или

Гейзенберга) S-матрица определяется с использованием скобок Дирака следующим образом:

Здесь ψ(− ∞) представляет волновую функцию системы в начальном состоянии при t → –∞, а ψ(+ ∞) – конечном состоянии. Как видно из

этого определения, S-матрица переводит начальное состояние двух свободных нуклонов в конечное состояние с учетом их взаимодействий. Короче говоря, вся информация о взаимодействии нуклонов содержится в S- матрице. Если нуклоны не взаимодействуют, естественно положить S = 1.

88

Теперь мы сформулируем по порядку необходимые физические требования.

1. R-операция. Пусть в произвольно выбранной системе координат, назовем ее базовой, волновая функция системы в момент времени t есть

ψ(t) . Введем вторую, повернутую на некоторый угол, систему координат R. Обозначим волновую функцию системы в этой системе отсчета как ψ(R,t) . Волновые функции в двух системах отсчета должны быть свя-

заны унитарным преобразованием (из требования одинаковости количества частиц в обеих системах координат). Унитарность оператора подра-

зумевает равенство U +(R)=U −1(R).

Волновые функции ψ(R,−∞) и ψ(R,+∞) описывают начальное и

конечное состояния нуклонов в повернутой системе R. Следовательно, в этой системе, по определению S-матрицы, которая зависит только от динамики взаимодействий, но ни в коей форме от выбора системы отсчета,

Приведенное выше соотношение (5) (или (6)) выражает постулат об инвариантности сильных взаимодействий относительно вращений системы координат в физическом пространстве. Приложение этого соотношения мы рассмотрим в другом месте.

2. Р-операция. Постулируется, что сильное взаимодействие инвариантно относительно инверсии пространственных координат. По-другому это называется законом сохранения четности. Рассмотрим, какое ограничение накладывает этот постулат на S-матрицу. Примем, как и в предыдущем рассмотрении, первоначально выбранную систему за базовую.

89

Обозначим волновую функцию в этой системе, как и прежде, через ψ(t) . Введем новую систему отсчета I, в которой направления всех ко-

ординатных осей инвертированы, т.е. x → –x, y → –y, z → –z. Если базовая система была левой, то система I оказывается правой. Пусть U(I)

представляет унитарный оператор, преобразующий функцию ψ(t) в

При этом обе функции описывают одно и то же физическое состояние, только в разных координатах. Следовательно, S-матрицы в двух системах

Таким образом, постулат об инвариантности сильного взаимодействия

Из этих двух случаев можно заключить, что инвариантность к R- и P- преобразованиям сводится к коммутативности S-матрицы с соответствующими U-матрицами преобразований.

3. Т-операция. Перейдем к формулировке принципа инвариантности сильного взаимодействия относительно обращения времени. Рассмотрим уравнение Шредингера в представлении взаимодействия

i ∂ ψ(t) = H (t)ψ(t) . (12)

∂t

Вэтом уравнении произведем замену t → –t и одновременно перейдем

ккомплексному сопряжению.

Врезультате получим новое уравнение

Из-за того, что в общем случае H (−t)≠ H (t), вновь полученное уравнение не является уравнением Шредингера. Однако предположим,

90