Нурушев Введение в поляризационную 2007

Пример 1. Бесконечно малый поворот вокруг оси z. Тогда имеем соотношения

При таком повороте системы отсчета вокруг оси z на угол ϕ спиноры

Отметим, что при повороте системы координат на угол ϕ = 2π волно-

вые функции меняют знаки.

Пример 2. Рассмотрим бесконечно малое преобразование Лоренца,

Соответствующий оператор преобразования спинора имеет вид

61

Для получения конечного преобразования надо соотношение (17) применить n раз, где n = (1/ ε)Arcth β и взять предел при ε →0 и n→∞. То-

Б. Преобразования дираковских спиноров при инверсии (отражении) координатных осей системы отсчета

Когда мы говорим об инверсии координатных осей, мы подразумеваем следующее преобразование:

С учетом соотношений

получаем в нашем конкретном случае, обозначив оператор преобразова-

ния спинора через ˆотр

T ,

Решение этих уравнений имеет вид

Свойства β-матрицы обеспечивают следующие трансформационные

характеристики матрицы ˆотр

T :

При выборе оператора ˆотр согласно (22) волновые функции в отра-

T

женной системе координат выражаются через волновые функции в первоначальной системе отсчета следующими формулами:

Из этих соотношений следует, что две пары волновых функций (ψ1, ψ2 ) и (ψ3,ψ4 ) ведут себя по-разному при инверсии координат: пер-

вая пара не меняет знак, т.е. является четной, а вторая пара – нечетной функцией. Поскольку первая пара волновых функций описывает частицу (электрон), а вторая пара – античастицу (позитрон), мы приходим к выводу, что частица и античастица обладают разными пространственными четностями. Как известно, при инверсии координат волновые функции приобретают множитель (–1)l, где l – орбитальный момент. В результате

для четных l и при инверсии имеет место закон преобразования:

ψ1(x)=ψ1(−x), ψ2(x)=ψ2(−x), ψ3(x)=−ψ3(−x), ψ4(x)=−ψ4(x). (25)

Для случая нечетных l пишется другой закон преобразования:

ψ1(x)= −ψ1(− x), ψ2 (x)= −ψ2 (− x), ψ3(x)= ψ3(− x), ψ4 (x)= ψ4 (x).(26)

Выпишем некоторые свойства оператора пространственного отраже-

В. Преобразования дираковских спиноров при инверсии (отражении) временной оси системы отсчета

Операция обращения времени определяется следующими преобразованиями:

Уравнение Дирака для волновой функции ψ с учетом внешнего четырехкомпонентного электромагнитного поля Aµ запишем в виде

§8. Тензоры и лоренц-преобразования спиноров

Как известно, при изменении системы отсчета математические объекты преобразовываются различным образом и подразделяются на определенные категории. Есть величины, которые при таких преобразованиях не меняются, они называются либо скалярами, либо псевдоскалярами. А отличить их можно по их поведению при отражении пространственных координат. Та из этих двух величин, которая при этой операции инверсии не меняет знак, называется истинно скалярной величиной. Та же величина, которая меняет знак, называется псевдоскаляром. Есть и другие категории величин, которые называются тензорами первого, второго и т.д. ранга. Примерами тензора первого ранга являются такие векторы, как вектор импульса (это – полярный вектор, при инверсии координат он меняет знак) или момент импульса (это – аксиальный или псевдовектор, при инверсии координат он знака не меняет). Есть также спиноры с двумя, четырьмя и т.д. компонентами. В релятивистской формулировке квантовой механики решающую роль играет требование инвариантности уравнения Дирака при преобразованиях Лоренца. В связи с этим мы рассмотрим последовательно операторы, входящие в это уравнение, такие как скаляры, тензоры и их свойства. Затем перейдем к формулировке условия инвариантности уравнения Дирака, к определению правил лоренцпреобразования спиноров и их билинейных комбинаций.

А. Совокупность пространственно-временных координат (t, x, y, z) в пространстве Минковского образует четырехвектор со следующими компонентами, которые мы условимся называть контравариантными и будем обозначать индексами, расположенными сверху:

Возможно и другое определение метрического тензора, когда в матрице (2) самый первый диагональный элемент имеет отрицательный знак, а остальные – положительный. Этот вариант мы в дальнейшем для краткости изложения не рассматриваем.

66

С помощью этого тензора можно поднимать и опускать индексы и, в частности, создать вектор с ковариантными компонентами (будем обозначать их индексами, расположенными снизу):

Скалярное произведение любых двух четырехвекторов x и p определяется следующим образом:

Аналогично в любом тензоре a его индексы могут быть подняты или опущены:

Применяя это соотношение к метрическому тензору, находим

Скалярная величина, определенная соотношением (4), является инвариантом при преобразовании Лоренца. Как другой пример скаляра можно привести квадрат четырехимпульса частицы с массой m, а именно:

Аналогичные инварианты можно строить из комбинации тензорных величин разного ранга. Пусть мы имеем четырехвекторы a и b, а также тензоры B и C. Из них можно образовать следующие инвариантные комбинации:

Из этих примеров можно вывести следующее правило образования инвариантов: величина является инвариантом тогда и только тогда, когда немые индексы появляются попарно, причем один индекс сверху, а другой индекс снизу. Отсутствие такого соответствия может означать наличие ошибки в вычислениях.

Рассмотрим теперь примеры образования инвариантов при наличии операторов дифференцирования. Пусть имеется скалярная, т.е. инвариантная функция F. Тогда дифференциал этого оператора тоже должен быть скаляром. Запишем

67

Чтобы эта величина была инвариантной, производные должны преоб-

Следовательно, компоненты вектора градиента преобразовываются противоположно координатам, по которым берутся производные. Итак, взятие ковариантной производной производится по формуле

Контравариантная производная находится по следующей формуле:

Оператор Клейна–Гордона является инвариантным и определяется соотношением

С помощью этого оператора можно записать релятивистское инвариантное уравнение Клейна–Гордона для свободной бесспиновой частицы с положительной энергией

Из записи уравнения (14) следует определение ковариантности уравнения: уравнение ковариантно, если его левая и правая части преобразовываются одинаковым образом. Например, если левая часть уравнения – скалярная величина, то и правая часть должна быть скалярной (см. уравнение (14)); если левая часть векторная, то и правая часть должна быть векторной, причем одинакового свойства – если одна часть ковариантная, то и другая часть должна быть такой же. Если в левой части уравнения есть свободный индекс на какой-то позиции (верхней или нижней), то и в правой части уравнения должен быть такой же индекс и в том же положе-

68

нии. Ниже приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие эти утверждения.

Примеры правильного написания уравнения:

Примеры неправильного написания уравнения:

Изложение в этом разделе построено на базе работы [Hagedorn (1963)]. Б. Вопрос о том, каким образом преобразуются дираковские матрицы, а также их средние значения при преобразованиях Лоренца, является важ-

ным при построении, например, матрицы рассеяния, матрицы плотности и экспериментально наблюдаемых величин. Используя результаты предыдущего параграфа, ниже мы рассмотрим некоторые примеры.

Для бесконечно малого поворота системы отсчета мы получили следующее выражение для оператора поворота (см. §7 (12):)

Это выражение можно переписать, выделив члены, связанные с временной компонентой:

Для обратной матрицы с точностью до малости ε2 справедливо соотношение

Здесь εµν, εnm – антисимметричный единичный тензор второго ранга

в четырех- и трехмерном пространствах соответственно; индексы пробе-

гают значения µ,ν = 1, 2, 3, 4 и m, n = 1, 2, 3.

Если взять эрмитово сопряжение от операторного уравнения (19), то найдем

69

Сравнивая уравнения (20) и (22), можно заметить, что оператор ˆ не

T

ко при чистых пространственных поворотах, когда ε4m = 0 . В общем случае справедливы следующие коммутационные соотношения:

Рассмотрим теперь, какие скаляры, векторы и тензоры второго ранга можно построить из дираковских матриц. Начнем с поиска скалярной матрицы. При преобразовании Лоренца

Чтобы найти скалярный оператор u потребуем неизменности среднего значения этого оператора при указанных выше лоренц-преобразованиях

Следовательно, для u мы имеем два решения: u1 = β или u2 = β . Эти два решения отличаются друг от друга. Чтобы это увидеть, применим

оператор инверсии координат ˆотр = β . Отсюда ясно, что первое решение

T

коммутирует с оператором ˆотр , т.е.

T

70