Нурушев Введение в поляризационную 2007

вторая – в направлении i. Измеряется асимметрия после рассеяния. Выражение для тензора Aik(2) имеет вид

Требования инвариантности сильных взаимодействий относительно ряда непрерывных (изотропность и однородность пространства) и дискретных (инверсия пространства, обращение времени) преобразований приводят к соотношениям между измеряемыми величинами. Так, напри-

Если мы имеем пучок с поляризацией P1 и поляризованную мишень с

поляризацией P2 (или два встречных поляризованных протонных пучка с

указанными поляризациями), то из общих требований инвариантности матрицы рассеяния относительно перечисленных выше в скобках преобразований можно получить следующее выражение для дифференциального сечения

Здесь P означает величину поляризации, возникающей при рассеянии неполяризованных частиц. Также введены обозначения

Для измерения параметров деполяризации Dik или тензора передачи поляризации Kik необходимо провести дополнительное рассеяние, чтобы

определить поляризацию рассеянной частицы. Такие опыты очень трудны, во-первых, из-за слабой светимости во втором рассеянии, во-вторых, при больших энергиях очень трудно найти анализаторы с высокой анализирующей способностью. Это и есть одна из главных причин, почему, например, на коллайдере RHIC такие опыты не запланированы. В отличие

от этих параметров тензор корреляции асимметрии Aik измеряется на RHIC непосредственно. Для измерения, например, параметра All , надо

направить поляризацию обеих начальных частиц по их импульсу, т.е. сделать оба пучка продольно поляризованными. Если надо измерить, скажем,

Asl , то надо сделать один пучок частиц поляризованным по вектору s , а

121

другой – по вектору l . Между прочим, все эти возможности предусмотрены на коллайдере поляризованных частиц RHIC.

Как мы отмечали уже, измерения наблюдаемых величин проводятся в лабораторной системе, в то время как все теоретические построения с этими величинами производится в с.ц.м. Определим преобразования между этими двумя системами. Сначала напомним связь между тройками единичных ортогональных векторов в лабораторной системе и системе центра масс:

щей частицы в с.ц.м., n – нормаль к плоскости рассеяния в этой же сис-

теме, sr = nr×k – вектор, перпендикулярный к импульсу начальной частицы и лежащий в плоскости рассеяния. Тогда получаем соотношения

между собой. Для остальных компонент тензоров находим следующие соотношения:

Здесь тензоры корреляции поляризации Cik выражены через тензоры корреляции асимметрии Ann . Это неспроста. Тензоры Cik могут быть

измерены тоже с использованием неполяризованных начальных частиц. Но при этом требуется анализ конечной поляризации (двухкратное рассеяние), а это ведет к необходимости анализирующего рассеяния. А такие опыты, как говорилось выше, очень трудны. В то же время параметры

122

Ann измеряюся легче (в однократном рассеянии), и формулы, приведенные выше, позволяют определять через них и Cik .

В первых экспериментах при малых энергиях (кинетическая энергия

пучка 100 – 600 МэВ) измерялся тензор спиновой корреляции Cnn и позже – другие параметры. Рассмотрим эти тензоры:

Пусть a – произвольный вектор. Подействуем на него оператором

Здесь релятивистский угол поворота спина составляет α = θ2 −θL , где θ и θL – угол рассеяния частицы соответственно в с.ц.м. и в лабора-

торной системе.

Аналогичные формулы преобразования можно написать и для частицы

где ϕ и ϕL – угол рассеяния частицы отдачи соответственно в с.ц.м. и в

лабораторной системе.

Отметим здесь два момента. Во-первых, релятивистская прецессия спина (томасовская прецессия) затрагивает только компоненты поляризации, которые лежат в плоскости рассеяния и не затрагивает ее нормальную компоненту. Во-вторых, в нерелятивистском пределе углы α = α'= 0 и томасовская прецессия при малых энергиях не влияет на наблюдаемые величины. В нерелятивистском случае имеют место равенства

Теперь найдем выражения для измеряемых на опыте величин (50) через тензоры в с.ц.м. с помощью соотношений с (52) по (55). Искомые

Если мы будем выбирать определенные компоненты начальной и конечной поляризаций, то придем к известным параметрам Вольфенштейна,

В параметрах вращения спина (A, R, A′, R′) конечные единичные векторы входят с индексом R, что означает необходимость учета релятивистского вращения спина в плоскости реакции.

Отсылая читателей, интересующихся техническими деталями получения следующих формул, к статье [Биленький (1965)], дадим выражения физически наблюдаемых величин через амплитуды рассеяния в релятивистском подходе:

14 экспериментальных наблюдаемых величин, перечисленных выше, используются для восстановления пяти амплитуд и их фаз. При этом одна

125

общая фаза остается неопределенной. В принципе есть способы также и ее восстановления. Пока эту задачу здесь обсуждать не будем.

Приведем один из вариантов восстановления амплитуд, отсылая за деталями к статье [Биленький (1966)]:

Чтобы продвинуться дальше, надо фиксировать фазу одной из амплитуд. Это может быть любая из пяти амплитуд. В данном конкретном случае зафиксируем амплитуду c как действительную и положительную. Это значит, что матрица рассеяния будет определена с точностью до фазы c. Если примем это условие, то найдем

Для дальнейших вычислений запишем тождество для любых двух

Выбирая x = g, y = h, найдем с помощью (90) и (91)

Одно соотношение можно записать сразу:

126

С помощью (77) можно определить знаки Im u и Re v . Любое неис-

пользованное уравнение из указанного выше набора (72) – (85) может быть использовано для устранения оставшейся неоднозначности.

Таким образом, завершена задача релятивистского восстановления матрицы нуклон-нуклонного рассеяния в общем виде. Из-за ограниченности объема книги были опущены такие интересные проблемы, как восстановление амплитуд путем измерения поляризационных параметров частицы отдачи или совместный анализ pp- и np-рассеяний на базе изотопической инвариантности.

Список литературы

Биленький С.М., Лапидус Л.И., Рындин Р.М. ЖЭТФ 49 (1965) 1653. Биленький С.М., Лапидус Л.И., Рындин Р.М. ЖЭТФ 51 (1966) 891. Винтернитц П., Легар Ф., Яноут Э. Препринт ОИЯИ Р-2407, Дубна

(1965).

Головин Б.М., Джелепов В.П., Надеждин В.С., Сатаров В.И. ЖЭТФ 36

(1959) 433.

Казаринов Ю.М. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н.,

Дубна (1956).

Кумекин Ю.П. и др. ЖЭТФ 46 (1954) 51.

Нурушев С.Б. ЖЭТФ 37, вып. 1 (7) (1959) 301.

Пузиков Л.Д., Рындин Р.М, Смородинский Я.А. ЖЭТФ 32 (1957) 592. Смородинский Я.А. Труды IX Международной конференции по физи-

ке высоких энергий. Киев, 1959 г., издательство ВИНИТИ (1960). Azhgirey L.S. et al. Phys. Lett. 6 № 2 (1963) 196.

Bilenky S.M. and Ryndin R.M. Phys. Lett. 6 (1963) 217. Dalitz R.H. Proc. Phys. Soc. A65 (1952) 175.

Philips R.T.N. Nucl. Phys. 43 (1963) 413.

Schumacher C.R., Bethe H.A. Phys. Rev. 191 (1961) 1534. Wolfenstein L., Ashkin J. Phys. Rev. 85 (1952 ) 947.

§20. Парциально-волновой анализ

Результаты поляризационных экспериментов по упругому рассеянию нуклонов в области низких энергий (0,1 – 10 ГэВ) рассматривались мето-

дом парциально-волнового анализа [Hoshizaki (1968), Matsuda (1993)]. В

этом методе амплитуда рассеяния раскладывается по собственным функциям полного набора сохраняющихся величин, и коэффициентами разложения являются элементы матрицы рассеяния S.

127

Эти элементы выражаются через сдвиги фаз, которые несут полную информацию о процессе взаимодействия. Применение такого метода оправдывается рядом обстоятельств. Во-первых, количество фаз напрямую зависит от максимальной величины орбитального момента Lmax, принимающего участие во взаимодействии. В свою очередь, Lmax , как известно из нерелятивистской квантовой механики, связан с параметром соударе-

дающей частицы в с.ц.м. Как видно из этого соотношения, с ростом энергии растет и Lmax , делая невозможным проведение фазового анализа, когда количество свободных параметров становится равным или больше количества экспериментальных точек. Ситуация еще больше усугубляется при энергиях выше порога мезонообразования, когда фазы становятся комплексными. Это и есть основная причина того, что фазовый анализ не применяется при высоких энергиях.

Тем не менее при низких энергиях в 1950 – 1960 гг. метод фазового анализа применялся широко и этому есть обоснования. Во-первых, при низких энергиях количество фаз и, соответственно, число свободных параметров невелико. Например, приняв параметр соударения равным

50 МэВ и Lmax = 3 при Т = 300 МэВ. Следовательно, фазовый анализ можно провести легко. Вторая и веская причина, почему такой анализ надо

проводить, состоит в том, что фазы, благодаря их зависимости от параметра соударения, позволяют как бы сканировать внутренную структуру нуклона. Ясно, что если частицы проходят друг от друга на большом расстоянии, то они взаимодействуют слабо и фазы будут малы. Напротив, если происходит лобовое столкновение (L = 0), то фазы должны быть большими. Разумеется, могут быть отклонения от этой картины, например, при наличии сил отталкивания или при образовании резонансов. Польза в проведении фазового анализа при небольших энергиях состоит, в-третьих, в том, что имея небольшое количество фаз, можно рассчитать при данной энергии угловую зависимость любой наблюдаемой величины (как бы предсказать ее поведение) и затем можно сопоставить расчет с экспериментом. И в-четвертых, любая теоретическая модель должна тестироваться данными фазового анализа, если, разумеется, фазовый анализ однозначен.

Перейдем теперь к нахождению элементов матрицы рассеяния через фазы.

128

Учитывая унитарность S-матрицы, ее можно переписать с помощью оператора фазы δ следующим образом:

Матрица нуклон-нуклонного взаимодействия должна сохранять полный угловой момент J, суммарный спиновый момент S и четность П = = (-1)l. Требование антисимметрии при перестановке двух нуклонов при-

Здесь Т – изотопический спин системы двух нуклонов. Соотношение

(2) должно применяться раздельно для системы двух нуклонов в начальном и конечном состояниях. Учитывая это соотношение, элементы S- матрицы можно характеризовать только тремя квантовыми числами: полным угловым моментом J, полным спином системы двух нуклонов S и орбитальным моментом L, так как из вышеприведенного соотношения Т определяется однозначно, т.е. Т можно опустить из спецификации элементов S-матрицы.

Перейдем к матрице M, определенной выражением

Это выражение можно переписать через сферические функции углов,

Входящие в выражение (5) коэффициенты Клебша-Гордона в даль-

Обычно ось квантования берется в направлении падающей частицы, и тогда углы θi и ϕi равны нулю. В этом случае углы θf и ϕf представ-

ляют угол рассеяния конечной частицы. С этими упрощениями, а также с учетом того, что сохраняющимися квантовыми числами являются S, J, mJ, выражение (5) можно переписать следующим образом:

При суммировании надо учитывать условие антисимметрии (2), а также независимость элементов матрицы рассеяния от проекции полного

углового момента mJ в силу изотропии пространства. Для отличных от нуля элементов матрицы S–1 введем обозначения:

Инвариантность относительно обращения времени приводит к упро-

щению RJ + = RJ − = RJ . Для дальнейшего упрощения записи введем обозначения для триплетных и синглетных элементов в следующем виде:

В результате отличные от нуля матричные элементы для синглетных и триплетных состояний можно записать в следующем виде:

для триплетных переходов.

Здесь, во втором члене, L′ = 2J - L. Если прикладывать эти формулы к упругому pp-рассеянию, то надо учесть два фактора. Первый фактор связан с тождественностью двух протонов. В этом случае аппаратура не

130