Нурушев Введение в поляризационную 2007

= −A ± (µe −µp )2 B2 + 4A2 .

Таким образом, находим две энергии уровней

EIII = A[−1+ 2 1+ (µe −µp )2 B2 / 4A2 ],

(39)

EIV = A[−1− 2 1+ (µe −µp )2 B2 / 4A2 ].

Правильность полученных формул проверяется, приравнивая нулю магнитное поле. Полученные результаты должны совпасть с решениями для случая спин-спинового гамильтониана (см. соотношения (26) - (27)).

EI = A+µB, EII = A−µB, EIII = A(−1+2 1+µ'2 B2 / 4A2 ). (40)

EIV =−A(1+2 1+µ'2 B2 / 4A2 )

Как мы знаем, магнитный момент электрона отрицателен и по величине он приблизительно в 1000 раз больше магнитного момента протона, который по знаку положителен. Следовательно, оба введенных нами ко-

эффициента µ и µ' практически равны µe , но положительны. Как мы

видим, при отсутствии магнитного поля первые три энергии равны A, а четвертая равна –3A. С ростом магнитного поля энергии ведут себя поразному. Энергии EI и EII начинают расти с величины A линейно с по-

лем B, но в разных направлениях, хотя и с одинаковой скоростью. Энергии EIII и EIV стартуют с разных точек (A и –3A), сначала растут квад-

ратично по B, а затем линейно.

Вернемся к вычислению поляризации протонов в зависимости от величины магнитного поля. В разложении волновой функции состояния III

по законам квантовой механики квадраты модуля коэффициентов a2 и a3 определяют вероятности нахождения атома водорода в состояниях,

когда протон поляризован против поля или по полю соответственно. Если отнормировать базисные волновые функции на единицу, то

51

Следовательно, поляризация (c положительным знаком) протонов в

Найдем эту поляризацию следующим образом. Из второго уравнения в

Условие x = 1 соответствует критическому полю, равному 509 эрстед. После несложных преобразований придем к соотношению tg2θ =1/ x .

Поляризация для энергетического состояния IV будет такой же, как для состояния III, но с обратным знаком. Поляризация двух первых состояний (I и II) зависит от магнитного поля линейно.

Список литературы

Шпольский Э.В. Атомная физика. Т. 2. 7-е изд. М.: Наука, 1984.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.

Вып. 8-9. Квантовая механика. 3-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2004.

Crampton S.B. et al. Phys. Rev. Lett. 11 (1963) 338. Frenkel J. Z. Physic 37 (1926) 243.

52

§6. Уравнение Дирака

Уравнение Дирака нам потребуется в книге во многих местах. Так, при изучении свойств релятивистского спина мы сталкиваемся с проблемой лоренц-преобразования спина, и понять такое преобразование можно только с помощью уравнения Дирака. Известно, что сам оператор спина естественно возникает из этого же уравнения. Также уравнение Дирака дает правильное значение g-фактора Ланде для электрона.

Мы уже рассматривали выше (§5) уравнение Шредингера. Там использовалось выражение для гамильтониана в нерелятивистской форме. При выводе уравнения Дирака нужно выполнить три главных требования. Первым является условие ковариантности, т.е. оно должно иметь одинаковый вид в любой лоренц-системе; во-вторых, волновая функция должна быть собственной функцией оператора Гамильтона, должна представлять полную и ортонормированную систему, должна допускать вероятностное толкование. В-третьих, любой наблюдаемой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор.

Запишем релятивистский гамильтониан свободной частицы в виде

где α(α1,α2,α3 ) и β – параметры, которые надо найти.

Здесь произведено формальное извлечение квадратного корня, так как для лоренц-инвариантности гамильтониан должен линейно зависеть от

Возведем в квадрат соотношение (1), воздействуем на ψ и потребуем, чтобы полученное уравнение воспроизвело классическое волновое уравнение Клейна – Гордона

При таком требовании возникают следующие условия на введенные выше параметры:

где i, k = 1, 2, 3. Из общего требования эрмитовости гамильтониана следует, что матрицы αi и β должны быть тоже эрмитовы. Из условий

αi2 =1 и β2 =1 следует, что собственные значения операторов αi и β =

±1. Используя условия антикоммутации, можно показать, что следы (обозначается Sp – сумма элементов главной диагонали) этих матриц равны нулю. Пример:

Аналогично можно доказать, что след β-матрицы тоже равен нулю. Это значит, что ранг матриц αi и β должен быть четным. Минимальный

ранг в этом случае будет n = 4, так как n = 2 приводит к спиновому пространству операторов Паули и единичной матрицы, которые представляют нерелятивистскую двухмерную систему. В одном из конкретных вы-

боров матрицы αi и β могут быть выражены через матрицы Паули σi :

Здесь I – единичная матрица в этом же представлении. Как можно видеть, уравнение Дирака приводит непосредственно к появлению спинового оператора для точечной частицы (электрона) со спином s = 1/2. Причем, как мы увидим ниже, уравнение Дирака предсказывает правильное гиромагнитное отношение, равное 2, что иначе не удавалось ранее получить.

Из уравнения Дирака (2) и эрмитово-сопряженного ему уравнения можно получить закон сохранения тока в дифференциальной форме

Плотность вероятности ρ и трехмерный вектор плотности тока вероятности j определяются следующими формулами:

Рассмотрим уравнение Дирака при наличии внешнего электромагнитного поля Aµ (Φ, Αr) . Это взаимодействие можно ввести следующей ка-

либровочно-инвариантной (инвариантной по отношению к добавлению к потенциалу производной от произвольной функции по соответствующим координатам) заменой

где ϕ и χ – двухкомпонентные спиноры. Тогда уравнение (11) с помощью соотношений (6) преобразуется к следующему виду:

Это матричное соотношение содержит верхнее и нижнее уравнения, соответствующие верхним и нижним элементам матриц. Из нижнего уравнения, полагая χ не зависящим от времени, пренебрегая последним

членом eΦ по сравнению с членом, содержащим массу, получаем

Компонента χ является малой по сравнению с ϕ, их отношение << 1

в нерелятивистском случае. Подставляя соотношение (16) в первое уравнение в (15), находим

55

гии частицы спиновое взаимодействие должно ослабевать. Как будет видно из обсуждения поляризационных данных в третьей части книги, масштаб энергии, выше которого становится справедливым это утверждение, пока не установлен.

При вычислениях спиновых наблюдаемых в релятивистской теории заметные упрощения возникают при использовании проекционных операторов. В силу специфики уравнения Дирака мы имеем дело с решениями как с положительной, так и с отрицательной энергией. В дополнение при каждой энергии у дираковской частицы имеются два спиновых состояния. Для выделения в расчетах одного из этих четырех состояний, нам необходимо иметь четыре проекционных оператора. Мы выпишем их явный вид, отсылая читателя для подробностей к книге [Бьеркен (1978)].

Оператор, выделяющий решение с положительной энергией и положительной проекцией спина, имеет вид ( Λ – оператор проецирования энер-

где символ εr определяет знак энергии: при r = 1 знак энергии берется

“+”, а при r = 2 знак энергии берется “–”. Проекционный оператор обладает следующими свойствами:

Для спинового проецирующего оператора выводится следующая формула (uz = sˆ ):

(24)

где четырехмерный спиновый оператор удовлетворяет условию (sp)= sµ pµ = 0 , величины γi будут введены в последующих параграфах.

Вследствие ковариантности проекционного оператора Σ , его действия на волновые функции Дирака с положительной энергией u и отрицательной энергией v определяются следующими соотношениями

57

При переходе в систему покоя частицы в случае решения уравнения Дирака с положительной энергией u получаем волновую функцию Паули. При этом есть полное соответствие в переходе спиновых состояний, а именно, состояние со спином “+” переходит в плюс, а состояние со спином “–“ переходит в минус. Однако при применении такой же операции перехода из состояния с отрицательной энергией в систему покоя знаки спинов меняются на обратные. Эта специфика находит объяснение в теории, постулирующей наличие реальной античастицы (позитрона в данном случае).

Список литературы

Бьеркен Дж., Дрелл С. Релятивистская квантовая механика. Т. 1.

М.: НАУКА, 1978.

§7. Элементы релятивистской квантовой механики

В приложениях особенно часто приходится обращаться к некоторым разделам релятивистской квантовой механики (РКМ). Например, при построении матрицы реакции необходимо знать ограничения, налагаемые определенными законами сохранения или свойствами симметрии взаимодействий (дискретными и непрерывными), типичными для изучаемого процесса. В связи с этим, а также с нашим желанием поменьше отсылать читателя к другим источникам, мы изложим подробно свойства спиноров Дирака при преобразованиях Лоренца, как собственной группы (детерминант преобразования равен +1), так и расширенной группы (группа вращения, отражения пространственных координат и времени). Здесь мы рассматриваем трансформационные свойства спиноров Дирака при поворотах системы отсчета, при отражении координатных осей и при обращении времени. В дальнейшем изложении мы следуем работе [Ферми

(1965)].

А. Преобразования дираковских спиноров при поворотах системы отсчета

Запишем уравнение Дирака для электрона с зарядом e, помещенного

во внешнее электромагнитное поле A , в некоторой базовой лоренцсистеме в форме

58

aλνaµν = (δλν + ελν )(δµν + εµν )= δλνδµν + δλνεµν + δµνελν =

= δλµ + εµλ + ελµ = δλµ.

Так как координатные переменные x, y, z и время t являются вещественными, то на антисимметричный тензор 2-го ранга εµν накладываются

условия: εik − действительные числа (i, k = 1, 2, 3), ε4n = −εn4 – мнимые

(n = 1, 2, 3).

При таких малых поворотах системы координат Лоренца можно пред-

положить, что и оператор ˆ претерпевает тоже бесконечно малое преоб-

T

разование

Предполагается, что оператор sˆ – такого же порядка малости, что и ε. Здесь второе уравнение получается из первого в предположении, что можно пренебречь квадратом оператора sˆ . Подставляя соотношение (9) в (6), получим

Можно прямыми вычислениями убедиться, что решением этого уравнение является

Как результат, матрица преобразования спиноров ˆ , соответствую-

T

щая преобразованиям Лоренца (2) и (7), имеет вид

Как известно, группа преобразований Лоренца играет фундаментальную роль в релятивистской теории, в частности, в релятивистской квантовой механике. Собственное преобразование Лоренца складывается из сдвига координат и из поворотов.

Рассмотрим несколько примеров на повороты системы координат. При этом нетрудно сосчитать, что поскольку у нас четыре координатных параметра (x, y, z, t), то мы имеем всего шесть плоскостей (число сочетаний из четырех по два). Следовательно, такое же количество собственных поворотов Лоренца мы и будем иметь.

60