Нурушев Введение в поляризационную 2007

ординат. В системе покоя мишени p = M/2, в то время как p→∞ определяет систему бесконечного импульса [Клоуз (1982)]. Обе функции f(x), E(x, x′) являются корреляционными функциями основного состояния для

случая двух или трех взаимодействующих партонов соответственно, и корреляции берутся вдоль касательной к световому конусу [Leader (2001)]. Функция f(x) допускает вероятностную интерпретацию после суммирования по полной системе промежуточных состояний:

f(x) можно интерпретировать как вероятность найти квант поля φ с импульсом k+ = xP+ в мишени. Трехчастичная корреляционная функция E(x, x′) такой вероятностной интерпретации не допускает.

Чтобы определить число независимых амплитуд типа твист-2, нужно провести две операции. Первая операция состоит в нахождении независимых компонент кваркового и глюонного полей путем использования проекционного оператора на световом конусе. Для кваркового поля эта операция разложения поля имеет вид

где проекционный оператор светового конуса определяется соотношением

В результате действия проекционного оператора на поле отбирается независимое кварковое поле ψ+ , имеющее две спиральные компоненты

±1/2. Аналогичное разложение глюонного поля по направлениям световых координат приводит к независимому глюонному полю с двумя спи-

ральными компонентами A (в обозначениях [Jaffe (1992a)] – с двумя

спиральными компонентами ±1). Ввиду наложенных выше условий на световом конусе рассеяние партона q с импульсом k и спиральностью h на мишени T с импульсом P и спиральностью H происходит без передачи импульса (т.е. рассеяние происходит под нулевым углом):

называется коллинеарным рассеянием. Следовательно, спиральность,

271

Обозначим амплитуды реакции (6) через A(h, H → h′, H′). Тогда в

силу сохранения четности в сильных взаимодействиях и обратимости процессов во времени имеют место следующие равенства между амплитудами:

В результате возникают три амплитуды рассеяния кварков на нукло-

Этим трем амплитудам рассеяния соответствуют три функции распре-

Эта функция соответствует рассеянию неполяризованных партонов на неполяризованных нуклонах. Функция распределения неполяризованных

кварков f1(x,ln Q2 )достаточно хорошо изучена в процессах ГНР. Другая структурная функция

соответствует рассеянию продольно-поляризованного партона на про- дольно-поляризованном нуклоне. Она начала изучаться в середине 70-х гг. на ускорителе SLAC [Alguard (1976)] и продолжается до сих пор, но уже во многих лабораториях.

Третья из полного набора структурных функций называется функцией трансверсальности и определяется формулой

Это – единственная оставшаяся не измеренной функция из группы твист-2. Для ее измерения нужно рассеивать поперечно-поляризованный

272

партон на поперечно-поляризованном адроне. Чуть позже мы обсудим эту функцию более подробно. Сейчас переходим к глюонной структурной функции.

В случае рассеяния глюона (безмассовой частицы, сохраняющей спиральность) остаются две независимые амплитуды, а именно:

Этим двум амплитудам рассеяния глюонов соответствуют следующие

Как следует из вида глюонных амплитуд при сохранении в разложении ведущих членов (твист-2), глюонное рассеяние происходит без переворота спина, т.е. спиральность сохраняется.

Функция G(x,Q2) измеряется путем рассеяния неполяризованных партонов на неполяризованных адронах. Она хорошо изучена в процессах ГНР. Особый интерес представляет измерение спино-зависящей функции глюонного распределения ∆G(x,Q2). При наличии скейлинга эта функция не может быть измерена в процессах ГНР. Это связано с тем, что глюон непосредственно не взаимодействует с фотоном. Взаимодействие идет через кварк (антикварк), который образуется при развале глюона на пару кварк–антикварк. Такие процессы являются нескейлинговыми. Уже длительное время делаются попытки получить информацию о ∆G(x,Q2) из данных по ГНР путем учета нескейлинговых членов, однако ошибки получаются очень большими. Сейчас COMPASS и HERMES заняты программой определения этой функции через образование мезонов с открытыми и скрытыми чармами.

Структурная функция распределения кварков по поперечной поляризации h1(x,q2) (для краткости будем называть ее в дальнейшем трансверсальностью), хотя и была обнаружена в 1979 г. [Ralston (1979)], однако была заново открыта и стала детально изучаться теоретически только в начале 1990-х гг. [Artru (1990), Artru (1993), Jaffe (1991), Jaffe (1992b)].

Трансверсальность h1(x) возникает при разложении кварковой корреляционной функции, содержащей матрицу Дирака σµνγ5 , на световом

конусе, а именно:

273

кварков по поперечному спину в нуклоне тоже с поперечной поляризацией. Трансверсальность является функцией твист-2. Появившиеся в (17) функции распределений hL(x) и h3(x) являются функциями твиста-3 и твиста-4 соответственно.

Нас интересует в данный момент только функция h1(x). Чтобы дать партонную интерпретацию этой функции, надо проделать несколько операций. Прежде всего необходимо разложить кварковое поле ψ , входящее

в соотношение (17), проецирующим оператором светового конуса P±. Эта операция обсуждалась выше и привела к выражению h1(x) через одну независимую амплитуду (13). Следующий шаг состоит в применении оператора киральности, который определяется следующим образом:

кварка, а именно: L – левое, когда спин кварка ориентирован, скажем, против направления его импульса (отрицательная киральность), и R – когда спин направлен по импульсу (положительная киральность). Оператор киральности коммутирует с оператором проецирования на световой конус, т.е.

так что собственные значения этих операторов могут быть определены одновременно. Оператор киральности совпадает с оператором спиральности в пределе нулевой массы кварка, что молчаливо допускается в этих обсуждениях.

Есть еще один спиновый проекционный оператор Q±, который называется оператором проецирования трансверсальности и определяется фор-

мулой [Goldstein (1976), Goldstein (1982), Goldstein (1989)]:

274

Подробный теоретический анализ показывает, что “поперечные и продольные спиновые эффекты равноправны в рамках пертурбативной квантовой хромодинамики” [Jaffe (1992а)]. Можно перечислить некоторые хорошо установленные свойства функции трансверсальности h1(x) и сравнить их со свойствами функции g1(x) (назовем ее для краткости функ-

Это неравенство имеет место для каждого аромата кварка и антиквар-

ка.

• Физическая интерпретация: h1(x,Q2) определяет вероятность найти поперечно-поляризованный кварк с кинематическими параметрами x и Q2 в поперечно-поляризованном нуклоне. Функция h1(x,Q2) является кирально-нечетной, т.е. партон выходит из нуклона с одной киральностью и входит в него с противоположной киральностью (или наоборот). Это является причиной подавления этой функции в процессах ГНР, где спиральность сохраняется.

•Функция трансверсальности h1(x,Q2) возникает из билокального обобщения тензорного оператора qσµνiγ5q .

•Функция киральности g1(x,Q2) является кирально-четной (партоны входят и выходят из нуклона с одной и той же киральностью). Эта функция не подавлена в процессах ГНР и хорошо там измеря-

ется. Функция g1(x,Q2) возникает из билокального обобщения аксиального зарядового оператора qγµγ5q .

• Правило сумм: а) если ввести определение тензорного заряда соотношением

где λa представляет матрицу аромата кварков, то тензорный заряд можно выразить как интеграл от функции трансверсальности:

275

Сравнение правил сумм для этих двух случаев показывает не только сходство формул, но и отличия. Во-первых, в формулах (24) и (26) вклады антикварков входят с разными знаками, как следствие того факта, что тензорный заряд является зарядово-нечетным, в то время как аксиальный заряд является зарядово-четным членом. Во-вторых, функция трансверсальности h1(x,Q2) не отнормирована на величину тензора углового момента и не допускает в противоположность g1(x,Q2) простой физической интерпретации в долях спина, переносимых партонами. В-третьих, все компоненты тензорного заряда имеют неиcчезающую аномальную размерность, но ни одна из этих компонент не смешивается с глюонными операторами при перенормировке. В противоположность этому несинг-

летный по аромату аксиальный заряд ∆qa (где ∆q0 Σ ) имеет аномальную размерность вследствие треугольной аномалии.

•Модельное предсказание. В нерелятивистской кварковой модели

h1(x) и g1(x) совпадают. В релятивистской модели мешков [Jaffe (1992b)] они различаются, но не сильно.

•Недавно в рамках кварк-партонной модели было доказано следующее правило сумм углового момента [Baсker (2004)]:

где в левой части уравнения стоит спин нуклона, а в правой части первый член представляет вклад трансверсальности в спин нуклона, а второй член соответствует вкладу поперечной компоненты орбитального момента партонов в спин. Интерес к этой формуле обусловлен тем, что вклад в спин нуклона от трансверсальности убывает с ростом Q2, в то время как вклад орбитального момента растет. Это дает надежду на разделение этих вкладов в эксперименте. Были выполнены расчеты трансверсальности в разных моделях в области Q2 ≤ 0,5 ГэВ2. Тензорные заряды также были

276

вычислены на решетке, а также с помощью правил сумм КХД [Barone (2004)]. Они привели к следующим результатам: δu ~ 0,1–0,7,

δd ~ – (0,1 – 0,4) при Q2 = 10 ГэВ2.

•Процессы Дрелл–Яна по образованию лептонных пар (l l ) явля-

ются наиболее чистыми для определения структурных функций g1(x) и h1(x), хотя сечения этих процессов весьма малы по сравнению с сечениями ГНР. Речь идет, в частности, о процессе

Если мы используем продольно-поляризованный пучок антинуклонов и продольно-поляризованную мишень из нуклонов, мы сможем измерить следующую асимметрию, связанную со спиральностью:

∑ea2g1a (x)g1a (y)

a

Если и пучок, и мишень поляризованы поперечно к направлению пучка, то измеряем двухспиновую поперечную асимметрию, связанную с трансверсальностью:

a

Здесь углы θ и φ обозначают полярный и азимутальный углы рассеяния партонов в их с.ц.м. Функция h1(x) появляется здесь как ведущий (скейлинговый) член вследствие наличия антикварка.

В случае реакции с двумя поляризованными протонами, как это планируется на RHIC [Saito (2004)], ожидаемый эффект составляет (1–2) %. Малость ожидаемого эффекта в этом случае определяется двумя факторами: а) антикварков в протоне мало, и их поперечная поляризация тоже

мала; б) при кинематике RHIC, когда s = 200 ГэВ, M < 10 ГэВ,

x1x2 = M 2/s ≤ 3 10–3, в эксперименте зондируется область очень малых x, где ожидается малая величина трансверсальности. Поэтому и ожидается малая асимметрия. В этом случае лучше работать с поляризованным антипротонным пучком, реакция (28), однако при умеренных энергиях. Так,

в проекте эксперимента PAX [Efremov (2004), PAX Collaboration (2005)],

когда 30 ≤ s (ГэВ2) ≤ 45, M ≥ 2 ГэВ, x1x2 = M2/s ≥ 0,1, в эксперименте зондируется область больших x, где ожидается заметная величина трансверсальности. Вычисления для M = 4 ГэВ и s = 30 ГэВ2 показали, что транс-

277

версальность равна 0,3 и практически постоянна в интервале xF = = x1 – x2 = 0 – 0,3. При том же значении M = 4 ГэВ и s = 45 ГэВ2 трансверсальность тоже равна 0,3, но в более широком интервале xF = 0 – 0,5 [Rathmann (2004)]. В эксперименте PAX может оказаться очень полезным

измерение трансверсальности через образование j/ψ-частиц в том же процессе (28), так как сечение этого процесса на два порядка больше сечения Дрелл-Яна, а величина асимметрии тоже порядка 0,3. Это иллюстрирует практичность применения поляризованного антипротонного пучка для измерения трансверсальности.

В ГНР трансверсальность оказалась подавленной множителем mq/Q, где mq – масса токового кварка. Массы токовых кварков чрезвычайно малы. Было бы хорошо образовывать тяжелые кварки, но в процессах ГНР сечения таких процессов очень малы. Таким образом, трансверсальность вносит ничтожно малый вклад в процессы ГНР.

Для полноты картины приведем выражение для асимметрии, когда одна из сталкивающихся частиц продольно-поляризована, а другая поляри-

Здесь впервые появились функции твиста-3, а именно, gTa (x) и hLa (x),

которые, как и положено, имеют порядок малости M/|Q|. Читателям, желающим приобрести более глубокие знания по данной проблеме, рекомендуется посмотреть обзорную статью [Barone (2002)].

• Другие возможности измерения трансверсальности. Одним из возможных каналов изучения трансверсальности являются полуинклюзивные процессы в области фрагментации тока [Jaffe (1992b)]:

Спиновые и твистовые свойства таких процессов зависят от партонных функций распределений и фрагментации. Если мишень поперечнополяризована, то измеряется асимметрия:

Кроме интересующей нас функции трансверсальности сюда входит

цией твист-2 и четной по киральности; функцией твист-3 g aT с четной

киральностью и eˆa / H с нечетной киральностью. Множитель перед дро-

бью указывает на наличие членов твиста-3. Эта формула позволяет, в принципе, извлечь функцию трансверсальности, если в предварительных опытах с поляризованной и неполяризованной мишенями определить остальные три функции. Эксперименты являются если и возможными, то очень трудными.

Другим процессом, тоже полуинклюзивным, но привлекательным, является процесс образования поляризованных гиперонов. Они интересны тем, что их слабые двухчастичные распады позволяют определять их поляризацию с высокой эффективностью.

• Функции распределенения по трансверсальности, зависящие от поперечного импульса кварка kT. Если учитывать поперечный импульс кварка в нуклоне, то, кроме трех описанных выше функций (f1, g1 и h1), возникают еще пять дополнительных функций распределений. Некоторые из них имеют прямое отношение к трансверсальности, и по ним начали появляться первые экспериментальные данные. Обсудим эти функции.

В нашем распоряжении находятся четыре физических величины, а именно: импульс P и спин ST (индекс T означает перпендикулярность к импульсу P) нуклона, а также поперечный импульс кварка kT и его спин SqT. Из них мы можем определить следующие спиново-зависящие поперечные асимметрии кварков.

Случай 1. Пусть нуклон поляризован поперечно. Какова разница в количестве кварков со спином параллельным и спином антипараллельным

Функция h1 (x, k T2 ) после интегрирования по поперечному импульсу кварка превращается в известную скейлинговую функцию трансверсальности, в то время как новая функция h1T (x,kT2 )при таком интегрировании

дает нуль. При отсутствии интегрирования фрагментация кварков с различными направлениями поперечной поляризации в адроны приводит к асимметрии, которая называется эффектом Коллинза [Collins (1993)]. При

этом функция h1(x,kT2 ) приводит к асимметрии вида sin(φh + φS), а функ-

279

ция h1T (x,kT2 ) – к асимметрии вида sin(3φh - φS). Здесь азимутальные уг-

лы относятся к конечному адрону (индекс h) и к поляризации протона (индекс s). Асимметрии измеряются в реакциях

Такие реакции называются полуинклюзивным ГНР (ПИГНР = SIDIS: semi-inclusive DIS).

Случай 2. Рассмотрим поляризованный протон с неполяризованными кварками внутри. В этом случае можно ожидать следующую асимметрию

Такое возникновение асимметрии называется эффектом Сиверса, а функция f1T (x,kT ) – функцией распределения Сиверса [Sivers (1990)].

Случай 3. Поперечно-поляризованные кварки внутри неполяризованного протона могут привести к асимметрии в следующей форме:

∆N3 = Nq↑/ p (x,kT )− Nqb/ p (x,kT )= (kT × Pr)• SqT h 1(x,kT ). (37) M

Функция h1 (x,kT ) называется функцией распределения Боор-

Мелдерса [Boer (1998)]. Функции распределений Сиверса и БоорМелдерса являются нечетными по отношению к операции обращения времени, так как содержат произведение нечетного количества векторов, меняющих знак при обращении времени. Но такое “нарушение временной четности” на партонном уровне “допускается” вследствие наличия взаимодействия кварка в конечном состоянии, что поправляет ситуацию.

Экспериментальное определение трансверсальных функций является в настоящее время стержнем многих поляризационных программ. Исследования ведутся по следующим направлениям:

1. Измерения односпиновой асимметрии в реакции ПИГНР

В этой реакции ненулевая асимметрия может возникнуть только в случае учета поперечного импульса кварка. Но поперечный импульс приводит к неколлинеарной кинематике рассеяния кварка на другом кварке, и чтобы применить партонную модель, надо доказать теорему факторизации и для этого случая. Такое доказательство факторизации в неколлинеарной кинематике было дано недавно в работе [Ji (2004)]. В результате асимметрия может возникнуть по двум причинам. В одном случае из-за

280