Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Калин Физическое материаловедение Том 1 Физика твердого тела 2007.pdf
Скачиваний:
1918
Добавлен:
16.08.2013
Размер:
7.64 Mб
Скачать

 

 

а

б

Рис. 1.37. Ячейки Вигнера–Зейтца для ГЦК (а) и ОЦК кристаллов (б)

В физике твердого тела фундаментальное значение имеет ячейка ВигнераЗейтца, построенная для обратной решетки. Эта ячейка называется зоной Бриллюэна. Как известно, ГЦК и ОЦК решетки являются взаимно обратными и, следовательно, зона Бриллюэна для ГЦК решетки изображается многогранником с 14 гранями, а зона Бриллюэна для ОЦК решетки − правильным ромбическим додекаэдром.

1.3. Симметрия кристаллов

Симметрия кристаллического пространства определяется заданием всех преобразований, которые сохраняют расстояния между любыми точками пространства и приводят к совмещению пространства с самим собой. Элементы симметрии делят на закрытые и открытые. Открытые элементы симметрии содержат трансля-

ции и поэтому описывают симметрию бесконечного пространства. Закрытые элементы симметрии оставляют одну точку неподвижной и после конечного числа операций возвращают кристаллическое пространство в исходное положение. Закрытые элементы симметрии задаются матрицами ортогонального преобразования R с detR = ± 1. Они могут быть сведены к поворотным осям симмет-

рии (чистое или собственное вращение с detR = + 1) и к инверси-

59

онным осям (вращение с отражением в точке, лежащей на оси, или несобственное вращение с detR = − 1).

1.3.1. Поворотные оси симметрии

Осью симметрии называют прямую, при повороте вокруг которой на некоторый угол αn гомологические (эквивалентные) точки кристаллического пространства совмещаются. Угол поворота αn равен 360о/n, где n − целое число. Значит, через n поворотов в одном направлении на угол αn кристаллическое пространство возвращается в исходное положение. Наименьший угол поворота αn для данной оси симметрии называют элементарным углом оси симметрии, а n порядком оси поворота. В кристаллографической системе координат при повороте вокруг оси симметрии произвольный вектор x, задающий узел пространственной решетки, переходит в вектор x′:

x′ = Rx,

где R − матрица вращения, а x и x′ − векторы-столбцы. Координатами векторов x и x′, определяющих узлы пространст-

венной решетки в кристаллографической системе координат, являются целые числа, поэтому компонентами матрицы R и, следовательно, ее следа trR также являются целочисленные величины, т.е. trR = N, где N − целое число.

В ортогональной системе координат преобразование R будет описываться матрицей подобия R′ = CRC-1, где C − матрица перехода от кристаллографической системы координат к ортогональной системе. Если ортогональную систему координат выбрать таким образом, чтобы ось симметрии совпала с осью x, то поворот вокруг этой оси будет описываться матрицей Rвида

1

0

0

 

 

0

cosα

 

(1.86)

R=

sinα

 

0

sinα

 

 

 

cosα

 

След этой матрицы trR= trR = N = 1 + 2 cosα; N может принимать значения 0, ±1, +2, +3. Отсюда следует, что возможны лишь повороты на угол α, равный 0, 60, 90, 120 и 180° (табл. 1.2). Таким

60

образом, в кристаллическом пространстве возможны оси симметрии первого, шестого, четвертого, третьего и второго порядков.

Таблица 1.2

Расчет поворотных осей симметрии

 

След матрицы

cosα

α, град.

Порядок

 

 

поворота trR

 

 

поворотной оси n

 

 

−1

−1

180

2

 

 

0

−1/2

120

3

 

 

+1

0

90

4

 

 

+2

1/2

60

6

 

 

+3

1

0, 360

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

б

в

г

д

Рис. 1.38. Изображение поворотных осей на стереографической проекции: а − ось 2-го порядка перпендикулярна плоскости проекции; б − ось 2-го порядка

параллельна плоскости проекции; в, г, д − оси 3-го, 4-го и 6-го порядка соответственно перпендикулярны плоскости проекции

Отсутствие осей пятого порядка в трехмерном или 3D- пространстве связано, как следует из предыдущих рассуждений, с наличием в кристаллическом пространстве трансляционной симметрии. Оси пятого порядка появ-

ляются в 4D-пространстве.

Изображение операций, отве-

 

чающих поворотным осям сим-

 

метрии 2, 3, 4, 6 порядков показано

 

на рис. 1.38.

 

В кристаллах с ГЦК решеткой

 

осями второго порядка являются

 

направления <110>, осями третье-

 

го порядка − <111>, осями четвер-

Рис. 1.39. Основные оси симметрии

того порядка <100> (рис. 1.39).

в кубической сингонии

61

Матрицы поворотных элементов симметрии. Компоненты матрицы поворотного элемента симметрии можно получить с использованием стандартной стереографической проекции. Если оси системы координат xyz совпадают с направлениями [100], [010] и [001], то, как было показано, компонентами матрицы поворота будут индексы направлений <100> после поворота.

При повороте вокруг оси [100] на 90о против часовой стрелки, как показано на рис. 1.40, направление [100] остается на месте, а направления [010] и [001], перемещаясь по основному кругу про-

екции, переходят в [001] и [01 0] соответственно. Таким образом, компонента-

ми матриц-столбцов C4[100] бу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дут (100), (001) и (01 0), и матри-

 

 

 

ца C

[100] будет иметь вид

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[100]

1

0

 

0

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

C4

=

 

1 .

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Действительно

C[100]− мат-

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

рица

ортогонального

преобразо-

Рис. 1.40. Траектории движения

вания с det C4[100]= +1 описывает

при поворотах вокруг [100], [1

 

1],

1

поворот на 90о, так как

tr C4[100] =

[011] в кубической сингонии

 

 

 

= +1, вокруг [100], поскольку для λ = 1 собственным вектором матрицы C4[100] является [100].

Точно так же при повороте вокруг [11 1] на 120о против часовой

стрелки направление [100] переходит в [001], [01 0] − в [100], т.е.

[010]→[1 00], а [001]→[01 0]. Соответствующая матрица имеет вид

 

 

 

0

1

0

[1

 

1]

 

 

 

 

 

1

0

0

 

C3

=

1 .

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

62

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.