около 18.10-6 К-1. Другая характерная особенность сплавов с содержанием (34−45) % Ni − отрицательное значение коэффициента линейного расширения в интервале температур ниже 30 К.

Инварной аномалией обладают также ферромагнитные сплавы

Fe−Pt, Fe−Pd, Ni−Al, Ni−Pt; антиферромагнитные Fe−Mn, Cr−Co;

некоторые ферромагнитные соединения со структурой фаз Лавеса: ZrZn2, ZrFe2 и некоторые другие сплавы и соединения переходных металлов.

3.8.Упругие свойства твердых тел

3.8.1.Основные характеристики упругости

Важнейшие положения теории упругости широко используются для проведения расчетов при конструировании машин и агрегатов. Для практических целей необходимо знать константы упругости, характеризующие тот или иной материал. Эти константы связывают механические напряжения с величиной упругой деформации (см. п. 1.5.4). Наряду с этим точное измерение этих материальных констант позволяет физику и материаловеду судить о межатомном взаимодействии и о фазовых превращениях вещества. Упругость, так же как и другие физические свойства, может быть использована для исследования металлов и сплавов и решения задач металловедения.

Основными величинами, характеризующими упругость, являются:

Е – модуль нормальной упругости (модуль Юнга); G – модуль сдвига;

D – модуль всестороннего сжатия (или объемной упругости); ν – коэффициент Пуассона.

Модули Е, G и D имеют размерность напряжения, ν – безразмерный коэффициент.

Эти четыре величины связаны между собой двумя соотношениями:

606

Упругость твердого тела определяется силами взаимодействия между соседними атомами в кристаллической решетке и соответственно электронными конфигурациями, влияющими на эти силы. Поэтому модули нормальной упругости Е и сдвига G являются анизотропными характеристиками, зависящими от направления в кристалле. В поликристаллическом теле, состоящем из большого числа беспорядочно ориентированных зерен, модули упругости не зависят от направления, и их величина может быть рассчитана путем усреднения упругих свойств монокристалла.

Для изотропных материалов при одноосном растяжении призматического тонкого стержня в направлении x под напряжением σx относительная деформация εx в упругой области подчиняется закону

Это растяжение сопровождается поперечным сужением стержня в ортогональных направлениях y и z, величина которых по определению коэффициента Пуассона εy = εz = −νεx . Нетрудно показать,

что при одноосном растяжении относительное увеличение объема

VV = (εx + εy + εz ) = (1− 2ν)εx .

0

Таким образом, если при таком растяжении объем тела не изменяется, то ν = 0,5. В действительности же для твердых тел всегда ν < 0,5. Для большинства чистых металлов и сплавов величина коэффициента Пуассона составляет ν = 0,25÷0,35. Наименьшее ν найдено у Be (0,0039), наибольшее – у Pb (0,44) и In (0,46). Ввиду близости значений коэффициента Пуассона у металлов отношение модуля сдвига к модулю нормальной упругости для большинства металлов должно быть близким. Из экспериментальных данных следует, что G/Е ≈ 3/8.

Согласно эмпирическому уравнению Портевена модуль нормальной упругости связан с температурой плавления металла Tпл:

607

где V – удельный объем; с, a, и b – константы, причем a ≈ 1 и b ≈ 1. Эта прямая зависимость Е от Tпл обусловлена тем, что обе эти величины характеризуют силу междуатомной связи. Заметим, что уравнение Портевена удовлетворительно выполняется только в ря-

ду металлов с идентичными кристаллическими решетками. Средняя энергия межатомного взаимодействия уменьшается с

повышением температуры, поэтому модули упругости также уменьшаются с температурой. Дифференцирование уравнения

(3.218) по Т приводит к тому, что термический коэффициент модуля нормальной упругости e = (dE / dT ) 1/T пропорционален ко-

эффициенту объемного теплового расширения β, который для изотропных тел равен утроенному коэффициенту линейного расширения 3α. Отношение α/e ≈ 0,04.

Поскольку коэффициент расширения α изменяется с температурой так же, как и теплоемкость СV, то изменение модуля упругости с температурой описывается следующими закономерностями:

где e ~ (T / θD )3 при T / θD <<1; e ≈ const при T / θD ≥1.

В области температур близких к температуре плавления Tпл наблюдается отклонение температурной зависимости Е(T) от линейной из-за образования в металле равновесных вакансий.

Уменьшение модуля упругости при нагревании металлов от низких температур до плавления составляет 20–30 %.

Термические коэффициенты модулей упругости Е и G монокристаллов зависят от кристаллографического направления: они максимальны в направлениях, соответствующих минимуму модулей упругости и, напротив, минимальны в направлениях, где модули упругости достигают максимума.

Поскольку модуль упругости характеризует силу межатомной связи, то он непосредственно связан с характеристической температурой Дебая (3.180):

где NА – число Авогадро; А – атомная масса; ρ – плотность; υзв –

средняя скорость распространения колебаний; h и k – постоянные Планка и Больцмана.

Упругость входит в формулу (3.220) посредством средней скорости звука υзв – скорости распространения колебаний в твердом теле, зависящей от модулей упругости:

3 = 1 + 2 , (3.221)

υзв3 υl3 υτ3

где υl и υτ – скорости распространения продольных и крутильных

колебаний. Каждая из этих величин связана с соответствующим модулем упругости:

На взаимосвязи модулей упругости со скоростью распространения упругих волн в твердом теле основан целый ряд экспериментальных методик определения упругих характеристик материалов, получивших название динамических. Эти методики обладают заметно большей точностью по сравнению со статическими, основанными на измерении деформации и напряжения (ε = σ/Е).

Динамические методы подразделяются на две группы: импульсные, основанные измерении времени прохождения импульса деформации через образец, и резонансные, в которых в образцах возбуждают продольные или поперечные колебания и измеряют собственные частоты колебаний. Импульсы деформации, а также колебания в образце могут возбуждаться и регистрироваться с помощью электромагнитных, электростатических, пьезоэлектрических или магнитострикционных систем. Динамические испытания можно производить при очень малых деформациях, что очень важно для мягких металлов и сплавов, у которых упругая деформация уступает место пластической при сравнительно малых напряжениях.

Рассмотрим резонансный метод определения модуля нормальной упругости в стержневых образцах длиной l и плотностью ρ. Скорость распространения звука, являющаяся скоростью рас-

609

пространения упругих колебаний в металлах, очень велика. В свинце она составляет 1320, в меди – 3660, железе – 5000 м/сек. Такая высокая скорость звука позволяет проводить исследования при звуковых и ультразвуковых частотах.

Колебания, генерируемые звуковым генератором, подаются на преобразователь, который возбуждает продольные колебания в стержне из исследуемого материала, закрепленном посередине. Амплитуда возбужденных колебаний измеряется датчиком на противоположном конце стержня. При совпадении частоты генератора с частотой собственных колебаний образца наблюдается резкое увеличение амплитуды сигнала, поступающего с датчика, которое свидетельствует о наступлении резонанса.

Поскольку узел колебаний находится в середине образца (в точке закрепления), а пучности на концах, то при резонансе на длине стержня L должно укладываться нечетное число полуволн длиной λ/2 (рис. 3.138).

Запишем условие резонанса: L = (2n + 1)λ/2, где n = 0, 1, 2, 3,...

Наиболее сильный резонанс наблюдается при n = 0 . Тогда L = λ/2.

Рис. 3.138. Распределение амплитуды колебаний по длине образца при первом и втором резонансном пике

Поскольку длина волны λ связана со скоростью звука в образце

тельно получим выражение для расчета значения модуля упругости:

610