же можно задать в кристалле любой симметрии любую компоненту деформации. Следует, однако, учитывать, что, задавая произвольное механическое напряжение (деформацию), реакцию в виде деформации (напряжения) получим уже зависящей от симметрии кристалла, так как она определяется упругими свойствами.

Таблица 1.6

Влияние кристаллографической симметрии на свойства, описываемые симметричными тензорами второго ранга

1.5.4. Упругие свойства кристаллов

Основным законом теории упругости твердых тел в области малых деформаций является закон Гука. Для изотропных тел закон Гука выражается соотношениями

где σ − напряжение, ε − деформация, c − жесткость (используются также названия модуль Юнга, константа упругой жесткости) или

где s − податливость или константа упругой податливости, причем s = 1/c.

Напряжение называют однородным, если силы, действующие на поверхность части тела определенной формы и ориентации, не зависят от положения этой части в теле. Состояние тела с однородными напряжениями называется однородным напряженным состоянием, которое задается симметричным тензором второго ранга σij, компоненты которого σ11, σ22, σ33 называются нормальными на-

пряжениями, остальные − касательными напряжениями или сдви-

113

говыми компонентами напряжений. Симметричный тензор σij

можно привести к главным осям, при этом сдвиговые компоненты напряжений исчезают и остаются главные напряжения σ1, σ2, σ3.

Основными видами деформации являются продольная (удлинение и укорочение) и сдвиговая деформация. Удлинение (укорочение) определяется как отношение изменения длины тела (отрезка) к его исходной длине:

Сдвиговой деформацией (деформацией сдвига) называется относительное смещение одной части тела относительно другой вдоль некоторой плоскости. Величина сдвиговой деформации определяется как отношение перемещения к расстоянию до этой плоскости

Другими словами, сдвиг можно рассматривать как меру изменения угла между двумя прямыми линиями, произвольно ориентированными в деформируемом теле.

Деформация в точке определяется выражением

откуда du = edx.

Рассмотрим деформацию отрезка в плоскости. Пусть отрезок PQ, лежащий в плоскости (x1x2), после деформации превращается в отрезок P'Q'. Координаты точки P − (x1, x2), а точки P' − (x1 + u1, x2 + u2). Компоненты вектора смещения точки P − u = PP' = (u1, u2).

писать (1.119) и (1.120) в общем виде

114

Поскольку ui и xj − векторы, то связывающие их коэффициенты uij образуют полярный тензор 2-го ранга, называемый тензо-

ром упругой дисторсии.

Представим тензор упругой дисторсии в виде суммы симмет-

Теперь εij = ½(uij + uji) определяет полярный тензор, называемый тензором деформации, а ωij = ½(uij − uji) аксиальный вектор, называемый тензором поворотов. Геометрическая интерпретация уравнения (1.122) дана на рис. 1.74.

Рис. 1.74. Геометрическая интерпретация уравнения (1.122)

Вследствие симметричности тензора εij его можно привести к главным осям:

где ε11, ε22, ε33 − компоненты деформации сжатия или растяжения, а остальные εij − компоненты сдвиговой деформации; ε1, ε2, ε3 − главные деформации.

Тензор поворотов ωij имеет вид

115

его компоненты определяют аксиальный вектор поворота ω (ω1,

ω2, ω3).

С использованием тензоров напряжения и деформации закон Гука в обобщенной форме имеет вид:

где коэффициенты упругой жесткости cijkl и упругой податливости sijkl образуют тензоры четвертого ранга. Как уже отмечалось, вместо 81 коэффициента упругости остается 21 коэффициент.

Коэффициенты упругости cijkl и sijkl в (1.125) и (1.126) удобнее записать с помощью матричных обозначений вместо тензорных.

Матрицы cij и sij являются взаимно-обратными, т.е. cijsjk = δik, где δik − единичная матрица. Вследствие симметрии кристалла некоторые из компонентов cij и sij становятся равными нулю или равными друг другу, а число независимых среди неравных нулю коэффициентов уменьшается.

Матрицы коэффициентов упругости для кристаллов кубической сингонии имеют вид:

а для кристаллов гексагональной сингонии

116

В кубических кристаллах вводят параметр упругой анизотропии

А = 2с44/(с11 − с12) = 2(s11 − s12)/s44.

Модуль Юнга в произвольном направлении. Чтобы опреде-

лить модуль Юнга в произвольном направлении, задаваемом направляющими косинусами l1, l2, l3, требуется преобразовать систему координат так, чтобы ось x'1 располагалась вдоль выбранного

направления, тогда E(l1, l2, l3) = 1/s'11. Для кубических кристаллов

Отметим, что для кубической сингонии модуль Юнга не является изотропным. Для ГЦК кристаллов модуль Юнга увеличивается при движении от <100> к <111>, тогда как у ОЦК кристаллов модуль Юнга при движении от <100> к <111> уменьшается. С точки зрения упругой анизотропии наиболее изотропным является молибден, а среди ГЦК кристаллов − алюминий (табл. 1.7). Упругие характеристики некоторых гексагональных монокристаллов приведены в табл. 1.8.

Для изотропных материалов параметр упругой анизотропии А = 1, откуда вытекает соотношение

117

и упругие свойства изотропного тела характеризуют всего два коэффициента упругости с11 и с12 или s11 и s12.

Таблица 1.7

Упругие характеристики некоторых кубических монокристаллов

118

1.5.5. Матричное представление группы

Наиболее полный анализ влияния симметрии на физические свойства кристаллов возможен при использовании матричного представления группы.

Матричным представлением группы G, состоящей из элементов E, A, B, …, R, является группа матриц D(G) с элементами D(E),

D(A), D(B), …, D(R) такими, что, если AB = C, то D(A)D(B) = D(C).

Матричное представление группы иногда обозначают как: Γ(G):

Γ(E), Γ(A), Γ(B), …, Γ(R).

Размерность представления − число строк или столбцов матриц представления. Представления D'(G) и D(G) являются эквивалентными, если для любого R матрицы D'(R) и D(R) связаны преобразованием подобия D'(R) = S D(G) S −1. Для приводимого представления любая матрица D(R) имеет квазидиагональный вид

Особый интерес имеют неэквивалентные, неприводимые представления.

Рассмотрим матричное представление физического свойства, заданного симметричным тензором второго ранга σ. Если кристалл обладает поворотной осью симметрии 4 вокруг оси x, то тензор σ инвариантен относительно этого элемента симметрии, и

Матрицу D(C4x) можно получить из (1.136), записывая компоненты тензоров σ и σ' в виде матриц-столбцов:

119

Матрицу D(C4x) можно представить в виде прямой суммы

D(C4x) = D(1)(C4x) D(2)(C4x) D(3)(C4x) D(4)(C4x),

где D(1)(C4x) и D(2)(C4x) − одномерные представления равные соответственно 1 и −1, а D(3)(C4x) и D(4)(C4x) − двумерные представления

С использованием такой же процедуры можно получить все матрицы представления D(G), где G − группа симметрии кристалла.

Если группа G имеет порядок h, то можно составить h − мерный вектор D(i)(R)μν, рассматривая в i − представлении матричные эле-

где суммирование ведется по всем неэквивалентным, неприводимым представлениям, li − размерность i − представления, − знак комплексного сопряжения.

Следствием теоремы ортогональности является теорема о размерности представления:

где суммирование ведется по всем неэквивалентным, неприводимым представлениям.

Если группа G состоит из k классов сопряженных элементов, то для элементов одного класса след матриц один и тот же. Характер

120

представления χ(G) состоит из следов матриц классов Ci сопряженных элементов: χ(E), χ(C2), χ(C3), …, χ(Ck). Можно составить k − мерный вектор χ(i)(Ck), рассматривая в i − представлении след матрицы k класса сопряженных элементов.

Для характера представления выполняется теорема ортогональности

где суммирование ведется по классам сопряженных элементов, Nk − число элементов в k классе сопряженных элементов. Следствием теоремы ортогональности для характера представления является утверждение, что n − число неэквивалентных, неприводимых представлений равно k − числу классов сопряженных элементов в группе симметрии:

В теории групп показано, что число ni неравных нулю независимых компонентов тензора, описывающего физическое свойство

где χ'(Ck) − характер одномерного неэквивалентного, неприводимого представления, χ(Ck) − характер матричного представления соответствующего физического свойства кристалла с группой симметрии G.

Для физического свойства, заданного симметричным тензором

Для физического свойства, заданного несимметричным тензором второго ранга, для поворотной оси n порядка

χ(Сn) = 1 + 4 cos2φ + 4 cosφ. (1.144)

В качестве примера определим число неравных нулю независимых компонентов, описывающих физическое свойство, заданное симметричным тензором второго ранга кристалла ромбической сингонии mmm (D2h)

121