берется из вертикального столбца, а второй − из горизонтальной строки.

Можно показать, что существуют только две абстрактные группы четвертого порядка, не изоморфные друг другу. Структура первой из них приведена в таблице умножения

e a b c

e e a b c

aa b c e

bb c e a

cc e a b

Из приведенной структуры видно, что a2 = b, ab = c = a3, a4 = b2 = = e, т.е. группа абелева, циклическая: a, a2, a3, a4 = e; каждый элемент образует класс сопряженных элементов, число классов сопряженных элементов k равно порядку группы n.

Вторая группа − это так называемая четыре-группа или четверная группа Клейна порядка 4 имеет структуру

e a b c

e e a b c

aa e c b

bb c e a

cc b a e

Из таблицы умножения видно, что a2 = b2 = c2 = e, ab = c, ac = b, bc = a, группа абелева, каждый элемент образует класс сопряженных элементов. Генераторами группы являются элементы a, b и c.

В группах симметрии их элементы − операции симметрии − имеют конкретный геометрический смысл. Некоторые различные группы симметрии, т.е. отличающиеся геометрически (например, у одной g1 − отражение, а у другой − поворот на 180о), могут иметь одинаковую таблицу умножения, т.е. быть изоморфными.

1.3.5. Точечные группы симметрии

Точечной группой называется группа операций симметрии, оставляющих неподвижной одну точку, поэтому точечные группы могут применяться для описания симметрии тел конечных разме-

68

ров. Точечные группы находят применение в квантовой механике и физике твердого тела. В кристаллографии точечные группы применяются для описания симметрии внешней формы кристалла, симметрии физических свойств кристалла, представляемых тензорами различного ранга.

При рассмотрении симметрии кристаллического пространства

точечные группы (или кристаллические классы) являются комби-

нацией закрытых элементов симметрии, причем точечные группы (кристаллические классы) первого рода связаны с комбинацией поворотных осей. Учитывая наличие циклических групп C1, C2, C3, C4, C6, связанных с поворотными осями 1, 2, 3, 4, 6, и возможные комбинации поворотных осей 222, 32, 422, 622, 23, 432, получаем 11 точечных групп с поворотными осями симметрии.

Рассмотрим некоторые точечные группы первого рода. Группы поворотов N − Cn имеют единственный элемент сим-

метрии − ось N, эти группы − циклические, порядка n = N. Главная ось N в этих группах всегда полярна, у нечетных групп все направления полярны, у четных − направления, перпендикулярные N, неполярны.

Группы диэдров N2 − Dn содержат главную ось симметрии N и n осей 2. Главная ось семейства − неполярная, порядок групп этого семейства 2n, они содержат в качестве подгрупп группы N и 2.

На рис. 1.42 показаны стереографические проекции элементов симметрии кристаллографических групп 222 и 422.

Рис. 1.42. Стереографические проекции элементов симметрии групп:

а – 222(D2); б – 422(D4)

Группа 222 содержит три оси второго порядка L2, ей соответствует четверная группа Клейна. Элементы группы можно представить в виде таблицы:

69

E C2[100]

C2[010] C2[001]

Элементы, входящие в один класс сопряженных элементов, располагаются в одной ячейке. Как видно, каждый элемент образует класс сопряженных элементов. Порядок группы n = 4, число классов со-

пряженных элементов k = 4. Генераторы группы C2[100] и C2[010]. Для группы 422 таблица имеет вид

Группа сдержит ось четвертого порядка L4 и четыре оси второго порядка L2. Порядок группы n = 8, число классов сопряженных элементов k = 6. Генераторы группы C4[100] и C2[010].

Группа 23 − группа тетраэдра T, порядок группы n = 12. Группа имеет четыре оси третьего порядка L3 и три оси второго порядка L2. Таблица для группы T имеет вид

Порядок группы n = 12, число классов сопряженных элементов равно k = 6. Генераторы группы C2[001] и C3[111].

Группа 432 − группа октаэдра O, порядок группы n = 24. Группа имеет четыре оси третьего порядка L3, три оси четвертого порядка L4 и шесть осей второго порядка L2.Таблица для группы O имеет вид

70

Порядок группы n = 24, число классов сопряженных элементов k = 5. Генераторы группы C4[001] и C3[111] .

Из таблиц для групп T и O видно, что равенство углов поворота является необходимым, но не достаточным условием вхождения в один класс сопряженных элементов. Действительно, элементы симметрии, соответствующие поворотам на 120° вокруг осей <111> в группе T входят в два класса сопряженных элементов, а в группе O − в один.

Рассматривая комбинации поворотных и инверсионных осей, получим еще 21 точечную группу (группы второго рода), таким образом, возможно существование 32 точечных групп.

Вгруппе m 3 m (Oh) 48 элементов, 10 классов сопряженных элементов. Генераторы группы C4[001] , C3[111] и 1 .

Втабл. 1.3 приведены все кристаллографические точечные группы и некоторые их характеристики. Если плоскость симметрии

m перпендикулярна главной оси N, то это обозначается как Nm (или

N/m), если ось N лежит в этой плоскости, то − Nm. Если главная ось вертикальна, то по Шенфлису первые группы имеют обозначения Cnh (h − горизонтальная плоскость), вторые − Cnv (v − вертикальная плоскость).

Вобозначениях по Шубникову знак умножения между элементами симметрии означает их параллельность, знак деления − перпендикулярность, косая черта − косое расположение этих элементов.

Втаблице приведены также «формулы симметрии», где использованы обозначения: L − оси симметрии, C − центр симметрии, P − плоскость симметрии; перед каждым символом стоит число соответствующих элементов.

Стереографические проекции элементов симметрии для групп

23(T), 432(O) и m 3 m(Oh) приведены на рис. 1.43.

Кроме деления на сингонии 32 класса симметрии можно группировать по более крупным подразделениям.

71

Таблица 1.3

Распределение кристаллических классов (точечных групп) по сингониям

72