Рис. 1.4. Дискретный спектр двумерного (2D) проводника квадратной формы
Отсюда плотность состояний на единицу энергии и на единицу площади двумерной системы
g2D = |
1 |
|
dZ2D |
= |
m |
. |
(1.16.3) |
|
L2 dε |
π h2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
1.17. Энергетическая плотность состояний
Чем больше размеры потенциальной ямы, тем меньше энергетическое расстояние между ближайшими уровнями. Например, при увеличении размеров Lx и Ly энергетическое расстояние между
уровнями при изменении nx и ny уменьшается, и дискретный
спектр по этим направлениям постепенно превращается в непрерывный:
|
Lx , Ly →∞ |
|
|
|
|
px2 |
+ py2 |
|
h2π 2 |
|
n2 |
|
|
εn n n |
→ |
εp |
p n |
|
|
|
|
+ |
|
|
z |
. |
(1.17.1) |
|
2m |
|
|
||||||||||
x y |
z |
x |
y |
z |
|
|
2m Lz |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
В предельном случае мы имеем непрерывный спектр по плоскости Lx × Ly и дискретный спектр по поперечному направлению z.
При этом все электроны разбиваются на группы с разным значением квантового числа nz (т.е. количества полуволн, укладывающих-
31
ся на ширине ямы Lz ). Такие группы образуют т.н. подзоны, каждая из которых имеет собственное дно, соответствующее разным значением nz (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Энергетический спектр и плотность состояния трехмерного проводника как суперпозиция плотностей состояний двумерных подзон
Результат (1.16.3) для непрерывного двумерного спектра можно
получить другим способом: |
|
|
|
|
|
|||
2 |
dpxdpy |
= 2 |
2π p dp |
= |
m |
dε ≡ g2Ddε. |
(1.17.1) |
|
(2π h)2 |
(2π h)2 |
π h2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Концентрация электронов для двумерного электронного газа вы-
числяется как |
|
|
|
g2D (ε) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n2D = ∫ f (p)[d 2 p] E∫F |
|
|
|
|
|
dε |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− EF |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ε |
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 + exp |
|
kBT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
F |
−ε |
1 |
|
|
(1.17.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= g2D kBT ln 1+ exp |
|
|
kBT |
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где εF = EF −ε1 – положение уровня Ферми, отсчитанного от дна |
||||||||||||||||||||||
нижней подзоны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вырожденного случая ( EF −ε1 >> kBT ) имеем |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mε |
F |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= g |
|
ε |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
F |
|
|
, |
|
|
|
(1.17.3) |
|||
|
|
|
π h2 |
2π h2 |
|
|
|
|||||||||||||||
2D |
|
|
2D |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и pF – энергия и импульс Ферми для вырожденной системы.
32
Для невырожденного случая ( EF −ε1 < 0 ) получаем из (1.17.2) больцмановскую статистику для двумерного случая (ср. (1.5.4))
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
F |
−ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
= g |
|
k |
|
T exp |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
. |
(1.17.4) |
|||||||
2D |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2D |
|
|
|
|
|
|
kBT |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действуя аналогично (1.17.1), для одномерного проводника получаем
g (ε)= |
2 |
|
, |
v(ε)= 2ε m , |
(1.17.5) |
|
π hv(ε) |
||||||
1D |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
а для трехмерного случая воспроизводим обычное выражение
(рис.1.6)
g3D (ε)= |
mε |
. |
(1.17.5) |
|
|||
|
π 2 h3 |
|
|
Рис. 1.6. Энергетические плотности состояний g(ε) для (а) объемного
полупроводника (3D); (б) квантовой ямы или инверсионного слоя МОПТ (2D); (в) квантовой проволоки (нити) (1D); (г) квантовой точки (0D)
Энергетический спектр квантовой точки напоминает дискретный спектр атомов, поэтому квантовые точки иногда называют искусственными атомами.
33
1.18. Подбарьерное туннелирование
Одним из важнейших практических следствий волновой природы электрона является возможность т.н. подбарьерного туннелирования, т.е. проникновения через классически запрещенную область, где высота потенциального барьера больше полной энергии электрона (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Схема, иллюстрирующая возможность подбарьерного туннелирования. Вероятность прохождения барьера T(E) и отражения от него R(E) связаны соотношением R(E) + T(E) = 1
Вероятность туннелирования T (E) зависит от энергии электрона и формы барьера, и ее можно рассчитать по формуле
|
2 |
x2 |
1/ 2 |
|
|
|
T (E)= exp − |
|
(2m(U (x)− E)) |
|
|
||
|
∫x |
dx . |
(1.18.1) |
|||
h |
||||||
|
1 |
|
|
|
В качестве практического примера можно рассмотреть туннелирование через барьер треугольной формы (т.н. туннелирование Фаулера-Нордгейма), играющее важную роль в МОП-структурах и вызывающее ток через изолирующий окисел между затвором и подложкой кремния (см. гл. 10).
Форма потенциального барьера задается его высотой UB (относительно уровня Ферми в затворе) и наклоном линейного участка,
имеющего смысл электрического поля F (рис. 1.8) |
|
U (x)=UB −q F x . |
(1.18.2) |
34
Рис. 1.8. Схема туннелирования Фаулера-Нордгейма
Высота барьера обычно равна работе выхода материала затвора (несколько электрон-вольт). Соответственно, вероятность туннелирования Фаулера-Нордгейма равна
T (E)= exp − h2 ∫0UB 
qF (2m(U B − q F x))1/ 2 dx =
|
4 (2mU |
B |
)1/ 2 |
U |
B |
|
(1.18.3) |
|||
= exp − |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
3 |
|
h |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
qF |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35