1.6.Элементарная кинетика

Вневырожденных полупроводниках электроны движутся хаотично с тепловой скоростью ~ kBT m ~ 107 см/с (для комнатных

температур), причем средний вектор скорости системы электронов в равновесном полупроводнике равен нулю. Предположим, в мо-

где m – эффективная масса электрона, τ – время свободного пробега по импульсу (~ 10-12 …10-14 c). Первое слагаемое в правой части уравнения (1.4.1) описывает набор импульса электрона за счет внешнего электрического поля; второе слагаемое описывает «торможение» электронов за счет передачи импульса фононам и примесям (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Избыточная скорость носителя во внешнем поле как функция времени

За очень малые времена (порядка нескольких времен свободного пробега ~ 10-12…10-13 c) устанавливается стационарное состояние ( d vdt = 0 ) с постоянной дрейфовой скоростью vDR , когда на-

бор импульса электронов компенсируется сбросом импульса за счет процессов рассеяния

где введена подвижность носителей μ ≡ qτ m .

14

Плотность дрейфового тока jDR и удельная проводимость сис-

темы σ определяются через дрейфовую скорость и плотность свободных носителей заряда n

Определенная таким образом удельная проводимость σ (обрат-

Легко убедиться, что для однородных проводников соотношение (1.6.3) эквивалентно закону Ома:

j =σ F = Fρ I =V R (1.6.5)

и имеет одинаковый вид в системах разной мерности (3D, 2D и 1D). Но размерность проводимости для разного числа измерений имеет разный вид (ниже выражения записаны в системах единиц СИ и СГСЭ):

Отметим, что для трехмерной системы проводимость в СГСЭ имеет размерность обратного времени, для двумерной – скорости, а для одномерной – коэффициента диффузии. Важно, что для корректного определения удельной проводимости, размеры системы должны быть таковы, чтобы в ней происходило несколько актов рассеяния, т.е. чтобы длина свободного пробега l была много

15

меньше размеров образца l<< L . Длина свободного пробега определяется временем свободного пробега носителя τ и скоростью Ферми vF для вырожденного или тепловой скоростью vth для не-

вырожденного электронного газа l = vF thτ .

Как уже говорилось, размерность проводника определяется соотношением длины пробега и характерных размеров проводника.

где D – коэффициент диффузии с размерностью [см2/с]. Плотность полного тока в полупроводниках всегда можно пред-

ставить суммой плотностей дрейфового jDR и диффузионного тока

Формально это соотношение (записанное для носителей с условно положительным зарядом) справедливо и для металлов, но в металлах очень сложно создать сколько-нибудь заметный градиент концентрации свободных носителей, что обусловлено их огромной концентрацией (~ 1023 см-3). В полупроводниках с типичным диапазоном концентраций носителей 1015 …1020 см-3 градиент концентраций можно относительно легко создать за счет неоднородного легирования и/или внешней инжекции.

Вравновесии плотность тока равна нулю j = 0 и диффузионные

идрейфовые потоки носителей строго уравновешивают друг друга независимо для электронов и дырок. Приравнивая плотность тока (1.7.2) нулю, получаем связь между подвижностью μ и коэффици-

ентом диффузии D:

16

Эта связь называется соотношением Эйнштейна и в форме (1.7.3) оно остается справедливым как для вырожденных, так и для невырожденных систем, т.е как для металлов, так и для полупроводников.

Для невырожденных полупроводников справедлива статистика Больцмана dn / dϕ = qnkBT , что непосредственно следует из (1.5.4), и соотношение Эйнштейна (1.7.3) принимает простой вид

где определяется т.н. тепловой потенциал (ϕT 0.026 В для комнатной температуры T =300 K).

1.8. Уравнение Больцмана

Для простоты обозначений будем рассматривать одномерное приближение, поскольку обобщение на многомерный случай, как правило, не представляет труда. В неравновесном случае формула (1.5.1), вообще говоря, перестает быть справедливой. Для определения неравновесной функции распределения необходимо решать кинетическое уравнение Больцмана, которое в можно записать в виде ( q > 0 ):

Правая часть уравнения Больцмана называется интегралом столкновений и характеризует, скорость с которой любое отклонение от равновесия в ФР распределения возвращается в равновесное состояние, характеризуемое функцией распределения ФермиДирака f0 (см.1.5.1). Скорость этой релаксации в очень грубом

приближении (т.н. приближение времени релаксации) характеризуется временем свободного пробега τ .

Все интересующие нас величины (плотности носителей и плотности токов) можем получить согласно общим правилам:

17

Плотность тока и концентрацию можно в принципе измерить, и к тому же они зависят только от координат и времени, и не зависят от импульсов; поэтому с ними проще иметь дело, чем с функциями распределений.

Рассмотрим равновесный, стационарный, но неоднородный случай. Неоднородная система типична для приборов, что может быть обусловлено, например, неоднородным легированием. В равновесном случае правая часть уравнения Больцмана (т.е. интеграл столкновения) равна нулю. Стационарность (независимость от времени) соответствует условию ∂f ∂t = 0 .

где мы воспользовались тем, что F = −∂ϕ∂x и vx = ∂εp ∂px .

Это означает, что распределение зарядов в равновесной структуре определяется распределением электрического потенциала и для его нахождения необходимо решать уравнение Пуассона совместно с выражением типа (1.5.1). Для нахождения положения постоянного электрохимического потенциала в равновесной структуре достаточно воспользоваться условием электрической нейтральности системы в локальной (как в объеме), либо в глобальной (как слоистой структуре МОПТ) форме.

18