VGB =ϕMS + 2ϕF +VC (y)+ q (nS (y)+ NA xd (2ϕF +VC (y)))= const(y).

CO

(4.10.3)

Анализ (4.10.3) показывает, что по мере увеличения y возрастает локальный потенциал канала VC и соответственно поверхностная плотность заряда обедненного слоя. Это означает, что локальная плотность носителей в канале nS (y) уменьшается по мере приближения к стоку.

4.11. Плотность электронов вдоль канала при VDS >0

Приближение плавного канала позволяет записать плотность электронов в канале в каждой его точке в виде

где введен n – безразмерный коэффициент влияния подложки. Он определяется тем, насколько пороговое напряжение чувстви-

тельно относительно обратного смещения на подложку:

Отметим, что коэффициент влияния подложки n по смыслу и значению очень близок введенному в п. 4.1 безразмерному коэффициенту m.

Считая коэффициент влияния подложки постоянной величиной (1< n <2), можно приближенно рассчитать распределения плотности носителей вдоль канала

112

Плотность электронов у истока в этом приближении постоянна:

называется напряжением насыщения, плотность электронов в канале вблизи стока оказывается формально равной нулю. Дополнительное напряжение на стоке VDS −VDSAT > 0 падает на pn-переходе

стока и практически перестает влиять на распределение потенциала в канале. Это означает, что зависимость тока в канале от напряжения VDS «насыщается», т. е. практически перестает расти.

4.12. Простейшая модель ВАХ МОПТ

Пренебрегая диффузионной составляющей тока, полный ток в канале шириной Z можно записать в виде

ID = Z q nS (y)μn E(y)= Z μnCO (VGS −VT 0 −nVC (y))dVdyC (y), (4.12.1)

где μn – подвижность носителей (электронов) в канале. Послед-

С учетом (4.11.3), обе стороны уравнения (4.12.2) можно проин-

Для наглядности это можно сделать графически, заметив, что ток через канал пропорционален площади трапеции в зависимости nS (uC (y)) (рис. 4.10).

113

nS (uC)

CO (VGS −VT 0 )

IDS

(VGS −VT 0 )/ n

VDS VC

Рис. 4.10. Зависимость плотности электронов в канале как функция электрохимического потенциала (см. 4.11.4). Ток канала пропорционален заштрихованной области

Из соотношения (4.11.4) и рис. 4.10 очевидно, что вычисление тока стока таким способом невозможно при больших VDS . Действительно, формальный интеграл от (4.12.2) дает выражение

в котором ток VDS > (VG −VT 0 )n начинает уменьшаться с ростом

VDS (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Схематические выходные ВАХ МОПТ для разных напряжений на затворе

В качестве тока насыщения волевым образом используется максимальное значение (4.12.4). То есть ток насыщения транзистора IDSAT вводится с помощью искусственной процедуры

114

Таким образом, в этом простейшем приближении вольтамперная характеристика (ВАХ) МОПТ выражается кусочнонепрерывной функцией

где β ≡ (ZL)μnCO – удельная крутизна МОПТ.

Это базисное уравнение, полученное еще в начале 60-х гг. ХХ в., до сих пор остается основой практически для всех моделей, используемых в модифицированном виде, в том числе и для проектирования наноэлектронных МОПТ с длиной канала < 100 нм (BSIM4). Причина этого состоит в том, что ВАХ транзисторов, в том числе самых современных, имеют довольно простой вид, и для их описания достаточно (особенно при использовании множества подгоночных параметров) использования простых компактных моделей, не требующих громоздких расчетов.

Тем не менее, с физической точки зрения, описанная простейшая модель является совершенно неудовлетворительной. Причина нефизического поведения модели в некоторых режимах работы кроется в самом виде изначального уравнения (4.12.1), в котором игнорируется диффузионный ток. Отметим, что диффузионный ток присутствует в канале уже в рамках самой же простейшей модели хотя бы из-за наличия ненулевого градиента концентрации вдоль канала в соотношении (4.11.3). Другим важнейшим недостатком описанного подхода является отсутствие явного решения уравнения непрерывности в канале. Последовательной процедурой является решение уравнения непрерывности для плотности тока в канале транзистора с учетом диффузионно-дрейфового характера транспорта носителей (глава 7).

NB. Интересно, что в рамках простейшей модели процедуру интегрирования уравнения (4.12.1) можно провести по-другому. Например, переписать соотношение (4.12.1) в виде

115