переменные и дифференцируя (9.1.5) по химическому потенциалу
ζ :
|
|
|
|
|
dζ |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
C |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
κ = |
|
= |
|
|
|
1 |
1+ |
|
|
S |
|
. |
|
(9.6.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dϕS |
|
|
|
|
dnS dζ |
|
|
C1(CS +C2 ) |
|
|
|||||
Это же выражение можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
CSC2 |
|
|
|
|
|
C1(1+ηFD ) |
|
|
C1(1+ηFD )εD |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.6.3) |
|||||||||
κ = |
|
C1 |
+ |
|
|
≡ |
Cinv |
|
= |
|
nS |
q |
, |
|||||||
Cinv |
(CS +C2 ) |
|
|
|||||||||||||||||
гдеηFD – коэффициент электрической связи двух затворов ПО КНИ МОПТ, имеющий смысл коэффициента влияния подложки
ηFD ≡ CS C2 C1(CS + C2 ). |
(9.6.4) |
9.7. Решение уравнения непрерывности в канале
Явное решение уравнения (9.6.1) дает формулы, аналогичные полученным для невырожденного случая с заменой теплового потенциала на потенциал диффузии. В частности, для распределения электрического поля вдоль канала имеем
E(y)= |
|
E(0) |
|
, |
(9.7.1) |
|
|
|
q E(0) |
|
|||
1−κ |
|
|
y |
|
||
|
εD |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
где E(0) – электрическое поле в окрестности истока
|
ε |
D |
|
|
|
κ |
|
qV |
|
|
E(0) = |
|
|
1 |
−exp− |
|
|
DS |
, |
(9.7.2) |
|
qκ |
|
|
|
|||||||
|
L |
|
1+κ εD |
|
||||||
и полный вид распределения поля вдоль канала дается выражением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ |
|
|
qV |
|
|
|
||||||
|
εD |
|
|
|
1 |
−exp− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DS |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1+κ |
εD |
|
|
|||||||||||||||
E( y) = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(9.7.3) |
|||||||||||||
qκ L |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
κ |
|
|
qV |
DS |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
− |
|
|
1 |
−exp− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
κ εD |
|
|
|||||||||
Интегрирование (9.7.3) дает распределения химического и электростатического потенциалов вдоль длины вырожденного канала (L)
218
ϕS ( y) −ϕS (0)
ζ( y) −ζ (0)
|
|
ε |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
κ |
|
|
qV |
|
|
|||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
=− |
|
ln 1 |
− |
|
|
1 |
−exp |
− |
|
|
|
|
|
|
DS |
, |
|||||
qκ |
|
|
1+ |
κ ε |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
D |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
κ |
|
qV |
|
|
|
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
ln 1− |
|
|
1−exp |
− |
|
|
|
|
|
|
|
DS |
|
, |
|||||
q |
|
|
1 |
+κ ε |
|||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
D |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(9.7.4)
(9.7.5)
где диффузионная энергия εD соответствует плотности электронов
в канале вблизи истока.
Полное падение электрохимического потенциала на длине канала определяется смещением исток-сток VDS и в используемом приближении делится между электрическим и химическим потенциа-
лом: |
|
|
|
||
μ(L) − μ(0) = q (ϕ(L) −ϕ(0))+ q(ζ (0) −ζ (L))= |
|||||
= |
qVDS |
+ |
κ qVDS |
= qV . |
(9.7.6) |
|
|
||||
|
1+κ |
1+κ |
DS |
|
|
|
|
|
|||
Вслучае сильной инверсии (когда κ << 1) имеем
ζ( y) −ζ (0) −κ Ly VDS ,
ϕ( y) −ϕ(0) Ly VDS .
Таким образом, при сильной инверсии полное падение химического потенциала мало по сравнению с электростатическим потенциалом, но его учет остается очень важным при описании режима насыщения.
Аналогично тому, как это было сделано в п. 7.11, получаем компактную формулу для времени пролета, справедливую для всех
режимов работы транзистора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
τTT |
= |
L2 |
κ |
|
|
κ V |
DS |
|
|
||||
|
|
|
|
coth |
|
|
|
|
. |
(9.7.8) |
|||
2Dn 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
+κ |
|
+κ 2εD |
|
||||||||
9.8. Распределение плотности электронов вдоль канала
Используя выражение для распределения химического потенциала вдоль канала (9.7.5) и выражение для плотности электронов в канале в случае заполнения одной подзоны (9.5.1), получаем выра-
219
жение для пространственного распределения плотности электронов вдоль канала
|
|
|
|
|
|
|
|
qζ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
κ |
|
qV |
|
kBT |
||||
|
|
|
|
|
|
|
k T |
|
|
DS |
|||||||||||
n |
S |
(y) g |
2D |
k |
B |
T ln 1 |
+ e |
B |
1 |
− |
|
1 |
−exp |
− |
|
|
|
|
,(9.8.1) |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+κ εD |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ζ0 – химический потенциал вблизи истока.
Для невырожденного случая (ζ < 0, εD =kBT ) распределение плотности электронов вдоль канала принимает вид
|
(y) g2DkBT e |
qζ 0 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
κ |
|
|
qV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k T |
|
|
|
|
|
DS |
|
|
|
|||||||||||||||||
nS |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||
|
|
|
1−exp |
1 |
+κ kBT |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
κ |
|
|
qVDS |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= nS (0) 1− |
|
1−exp |
− |
1+κ |
|
kBT |
|
, (9.8.2) |
|||||||||||||||||
где nS (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– поверхностная плотность электронов вблизи истока. |
|||||||||||||||||||||||||||
Полный заряд электронов в канале QC |
|
для невырожденного |
|||||||||||||||||||||||||
случая может быть вычислен как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QC =W ∫0 nS (y)dy |
= |
QC0 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
qVDS |
|
(9.8.3) |
||||||||||||
|
|
2 |
|
1+exp |
1+κ |
|
kBT |
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где QC0 ≡ nS (0)W L .
В случае вырожденного канала (ζ > 0, εD ≥kBT ) общее выражение можно приближенно представить как
nS (y) nS (0)− |
y |
|
g2DεD |
|
|
|
|
κ |
|
|
qVDS |
|
(9.8.4) |
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||
L |
2 |
1 |
−exp |
1+ |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
κ εD |
|
||||||||
что после интегрирования по длине канала приводит к выражению
|
|
Q |
|
|
κ |
qV |
|
|
Q |
= |
C0 |
1 |
+ exp− |
|
DS . |
(9.8.5) |
|
|
||||||||
C |
|
2 |
|
|
1+κ |
εD |
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, выражение (9.8.3) можно использовать как для вырожденного, так и для невырожденного случая.
220
9.9.Вольт-амперная характеристика (ВАХ) МОПТ
Вэтом разделе будет показано, что выражение для тока стока ID как функцию напряжения между стоком и истоком VDS можно
получить двумя согласованными способами.
A.Локальный подход
Первый подход состоит в том, что ток стока в канале шириной
W выражается через электрическое поле E(0), и плотность носителей nS(0) в районе истока (y = 0)
ID (VDS )= (1+κ)q W μn nS (0)E(y = 0,VDS ). (9.9.1)
Используя (9.9.1) и (9.7.2), общее выражение для тока может быть записано
|
W |
|
1+ |
|
|
|
ID = q |
Dn nS (0) |
κ |
|
− |
||
L |
κ |
1 |
−exp |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
κqVDS
1+κ εD
|
|
|
|
(9.9.2) |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
Эта формула непрерывным образом описывает все режимы работы МОПТ.
Б. Глобальный подход
Второй подход состоит в том, чтобы представить ток стока как отношение полного заряда в канале QC к времени переноса электрона из истока в сток τTT (см.
(9.9.3)
Используя выражение (9.7.8) для времени пролета τTT, непосредственно получаем
|
|
|
2D |
(V |
|
) |
1+κ |
|
κ qV |
|
|
||
I |
|
= |
n |
Q |
|
|
tanh |
|
DS . |
(9.9.4) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
D |
|
L2 C |
|
DS |
|
κ |
|
1+κ 2εD |
|
|||
После подстановки QC (9.8.5) в (9.9.5) в точности воспроизводим выражение для тока стока (9.9.2). Таким образом, два подхода полностью согласуются друг с другом.
Итак, общий вид вольт-амперной характеристики длинноканальных полностью обедненных КНИ транзисторов можно записать в той же форме, что и для транзисторов объемной технологии (ср. (7.8.2)). Единственным отличием является разный вид управляющего параметра κ , а для вырожденного случая канала вместо
221